Cambiamento di coordinate, basi di autovettori
Ciao ragazzi, mi trovo a dover svolgere il seguente esercizio e vorrei sapere se imposto il ragionamento nella maniera corretta.
Determinare il segno delle seguenti forme quadratiche su R3 ed esibire un cambiamento di coordinate che le porti in forma normale:
$x^2 + 4xy - 2y^2 -8xz -4yz + z^2$.
Per il calcolo del segno, controllo sei il determinante sia o meno diverso da 0, nel caso sia diverso da 0 applico la regola dei minori di nord ovest, altrimenti devo trovare gli autovalori.
Per esibire il cambiamento di coordinate, ecco cosa penso di fare:
- trovare la matrice simmetrica corrispondente alla forma quadratica in questione :
[tex]A = \left[\begin{array}{cc}1 & 2 & -4 \\ 2 &-2 & -2\\ -4 & -2 & 1\end{array}\right][/tex]
- cercare gli autovalori, cioè le radici del polinomio caratteristico
- ricavare gli autovettori
- effettuare lo scambio di coordinate.
Il problema è che mi blocco già nella ricerca degli autovalori, perché mi trovo con un sistema di terzo grado senza essere in grado di risolverlo.
Vorrei sapere se sono io che scelgo la strada sbagliata, non prendendo in considerazione qualche proprietà o altro!
Grazie a chi mi risponderà.
Determinare il segno delle seguenti forme quadratiche su R3 ed esibire un cambiamento di coordinate che le porti in forma normale:
$x^2 + 4xy - 2y^2 -8xz -4yz + z^2$.
Per il calcolo del segno, controllo sei il determinante sia o meno diverso da 0, nel caso sia diverso da 0 applico la regola dei minori di nord ovest, altrimenti devo trovare gli autovalori.
Per esibire il cambiamento di coordinate, ecco cosa penso di fare:
- trovare la matrice simmetrica corrispondente alla forma quadratica in questione :
[tex]A = \left[\begin{array}{cc}1 & 2 & -4 \\ 2 &-2 & -2\\ -4 & -2 & 1\end{array}\right][/tex]
- cercare gli autovalori, cioè le radici del polinomio caratteristico
- ricavare gli autovettori
- effettuare lo scambio di coordinate.
Il problema è che mi blocco già nella ricerca degli autovalori, perché mi trovo con un sistema di terzo grado senza essere in grado di risolverlo.
Vorrei sapere se sono io che scelgo la strada sbagliata, non prendendo in considerazione qualche proprietà o altro!
Grazie a chi mi risponderà.
Risposte
Devi aver fatto qualche errore perché gli autovalori sono tutti reali ( come deve essere per una matrice quadrata simmetrica) e sono : $lambda_1=lambda_2=-3,lambda_3=6$
Sapevo di dover trovare autovalori reali, dato che la matrice è simmetrica a entrate reali, ma non riesco a risolvereil ppolinomio caratteristico, trovando le radici.
Grazie!
Grazie!
\(\displaystyle det \begin{pmatrix}1-t&2&-4\\2&-2-t&-2\\-4&-2&1-t\end{pmatrix}=0 \)
$(1-t)[(-2-t)(1-t)-4]-2[2(1-t)-8]-4[-4+4(-2-t)]=0$
$(1-t)[t^2+t-6]-2[-2t-6]-4[-4t-12]=0$
$(1-t)(t+3)(t-2)+4[t+3]+16[t+3]=0$
$(t+3)[(1-t)(t-2)+4+16]=0$
$(t+3)[t-2-t^2+2t+20]=0$
$(t+3)[t^2-3t-18]=0$
$(t+3)(t+3)(t-6)=0$
$t_1=t_2=-3,t_3=6$
$(1-t)[(-2-t)(1-t)-4]-2[2(1-t)-8]-4[-4+4(-2-t)]=0$
$(1-t)[t^2+t-6]-2[-2t-6]-4[-4t-12]=0$
$(1-t)(t+3)(t-2)+4[t+3]+16[t+3]=0$
$(t+3)[(1-t)(t-2)+4+16]=0$
$(t+3)[t-2-t^2+2t+20]=0$
$(t+3)[t^2-3t-18]=0$
$(t+3)(t+3)(t-6)=0$
$t_1=t_2=-3,t_3=6$
Grazie mille! Non pretendevo tanto!
Ho un'altra domanda, durante l'esercitazione, la Professoressa ci ha fatto vedere come preseguiva l'esercizio seguendo il procedimento che ho indicato qualche post fa. Si cercavano gli autovettori e si definiva la matrice che operava il cambiamento di base , come quella le cui colonne sono formate, appunto, dagli autovettori normalizzati.
Secondo me, invece, quella matrice, effettua il cambiamento di base dalle coordinate rispetto alla base formata dagli autovettori unitari, alla base canonica. Il cambiamento di coordinate richiesto dall'esercizio, è quello definito dall'inversa della matrice sopracitata, cioè quello che fa passare dalle coordinate canoniche a quelle rispetto agli autovettori.
Cosa ne pensate?
Secondo me, invece, quella matrice, effettua il cambiamento di base dalle coordinate rispetto alla base formata dagli autovettori unitari, alla base canonica. Il cambiamento di coordinate richiesto dall'esercizio, è quello definito dall'inversa della matrice sopracitata, cioè quello che fa passare dalle coordinate canoniche a quelle rispetto agli autovettori.
Cosa ne pensate?
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