Cambiamento di base endomorfismi, matrici

[beasartori1]

Non ho per niente le idee chiare per quanto riguarda il cambiamento di base di matrici. Quello che ho capito fin ora è questo:

- data un'applicazione lineare \(\displaystyle {T}\), chiamiamo \(\displaystyle {A_c}\) la matrice ad essa associata in base canonica. Se vogliamo scrivere \(\displaystyle {A_c}\) in un altra base \(\displaystyle {B}\) qualsiasi, ottenendo quindi \(\displaystyle {A_b}\), allora:
\(\displaystyle {A_b=B^{-1}*A_c*B}\)

- data un'applicazione lineare \(\displaystyle {T}\), chiamiamo \(\displaystyle {A_b}\) la matrice associata a T in base \(\displaystyle {B}\). Se vogliamo scrivere \(\displaystyle {A_b}\) in un altra base \(\displaystyle {B'}\) qualsiasi, ottenendo quindi \(\displaystyle {A_b'}\) allora dobbiamo scrivere ogni colonna di \(\displaystyle {A_b'}\) come combinazione lineare dei vettori colonna di di \(\displaystyle {A_b'}\). I coefficienti trovati andranno poi disposti per colonna in una matrice P, che chiameremo matrice di passaggio.

\(\displaystyle P=\begin{bmatrix}
a_1 &a_2 &a_3 \\
b_1 & b_2 &b_3 \\
c_1 & c_2&c_3
\end{bmatrix} \)

\(\displaystyle {A_b'}\) sarà quindi dato da: \(\displaystyle {A_b'=P^{-1}*A_b*P}\)

- data un'applicazione lineare \(\displaystyle {T}\), chiamiamo \(\displaystyle {A_b}\) la matrice associata in base \(\displaystyle {B}\) qualsiasi. Se vogliamo scrivere \(\displaystyle {A_b}\) in base canonica , ottenendo quindi \(\displaystyle {A_c}\) allora \(\displaystyle {A_c=B*A_b*B^{-1}}\)

Sapete dirmi se è corretto?

[feddy]

In linea di principio mi pare sia tutto corretto (anche se vista l'ora potrei aver presto qualche cantonata).

Prova a risolvere questo per vedere se tutto ti torna.

Sia $\phi: RR^3 \rarr RR^3 $, $[x,y,z] \mapsto [x+y,x-z,y]$.

a) Trova la matrice associata rispetto alla base canonica.
b) Data la base di $RR^3$: $B={((2),(1),(0)),((1),(0),(2)),((0),(1),(1))}$, determina la matrice associata a $\phi$ rispetto alla base $B$
c) Date le basi di $RR^3$: $B={((2),(1),(0)),((1),(0),(2)),((0),(1),(1))}$ e $C={((1),(1),(0)),((0),(1),(1)),((1),(1),(1))}$, determina la matrice associata a $\phi$ rispetto alla base $B$ nel dominio e alla base $C$ nel codominio.
c) Scrivi esplicitamente la legge per l'applicazione lineare rispetto alle due basi trovate sopra.