Cambiamento di base a una matrice/applicazione lineare
Dunque, la questione è questa:
Stando in R3.
Un vettore v, di cordinate x,y,z può essere rappresentato come una matrice 3x1 con a,b,c dove a,b e c sono i tre fattori davanti a ognuno dei vettori di una data base (tipo quella canonica, o B).
Sia f una funzione interna allo spazio tridimensionale, dunque che restituisce 3 nuove cordinate, queste vengono rappresentate da l,m,n, fattori dei vettori della base B'.
Dunque la matrice che rappresenta questa applicazione è tale che moltiplicando:
$ ( ( a ),( b ),( c ) ) * MAT = ( ( l ),( m ),( n ) ) $
Bene, adesso lasciamo un attimo indietro questo discorso e concentriamoci sui vettori.
Un vettore, espresso come a,b,c fattori della base B può essere moltiplicato per la matrice di conversione da B a B'.
Questa matrice non è altro che la scrittura dei vettori colonna della base B espressi secondo la base B' (io la vedo un pò come la conversione euro->dollaro che consiste nel scrivere 1euro sottoforma di dollari...xdd).
Ok, ora il dubbio è questo:
come si fa a creare una matrice di conversione non "per vettori" ma "per applicazioni", ovvero una matrice tale che moltiplicando una matrice che rappresenta una funzione rispetto le basi B e B' il risultato sia una matrice dell applicazione che abbia diversa la base del dominio, O quella del codominio O entrambe...come si fa?
spero di essermi spiegato..
Stando in R3.
Un vettore v, di cordinate x,y,z può essere rappresentato come una matrice 3x1 con a,b,c dove a,b e c sono i tre fattori davanti a ognuno dei vettori di una data base (tipo quella canonica, o B).
Sia f una funzione interna allo spazio tridimensionale, dunque che restituisce 3 nuove cordinate, queste vengono rappresentate da l,m,n, fattori dei vettori della base B'.
Dunque la matrice che rappresenta questa applicazione è tale che moltiplicando:
$ ( ( a ),( b ),( c ) ) * MAT = ( ( l ),( m ),( n ) ) $
Bene, adesso lasciamo un attimo indietro questo discorso e concentriamoci sui vettori.
Un vettore, espresso come a,b,c fattori della base B può essere moltiplicato per la matrice di conversione da B a B'.
Questa matrice non è altro che la scrittura dei vettori colonna della base B espressi secondo la base B' (io la vedo un pò come la conversione euro->dollaro che consiste nel scrivere 1euro sottoforma di dollari...xdd).
Ok, ora il dubbio è questo:
come si fa a creare una matrice di conversione non "per vettori" ma "per applicazioni", ovvero una matrice tale che moltiplicando una matrice che rappresenta una funzione rispetto le basi B e B' il risultato sia una matrice dell applicazione che abbia diversa la base del dominio, O quella del codominio O entrambe...come si fa?
spero di essermi spiegato..
Risposte
Ciao, si se ho capito quello che intendi è molto semplice, basta che applichi la formula:
$ A= B_c^-1 A B_d $
Queste sono le spiegazioni dei simboli:
$ B_c^-1 -> $ Matrice base codominio ( di cui dovrai fare l'inversa)
$ A -> $ matrice formata dalla immagini della base canonica (sarebbe la matrice che ti rappresente l'applicazione lineare)
$ B_d -> $ matrice base del dominio
Ovviamente se la base del dominio o del codominio è quella canonica avrai la matrice unità, ed il tuo prodotto si ridurrà a due termini.
Spero di esserte stati d'aiuto ciao!
$ A= B_c^-1 A B_d $
Queste sono le spiegazioni dei simboli:
$ B_c^-1 -> $ Matrice base codominio ( di cui dovrai fare l'inversa)
$ A -> $ matrice formata dalla immagini della base canonica (sarebbe la matrice che ti rappresente l'applicazione lineare)
$ B_d -> $ matrice base del dominio
Ovviamente se la base del dominio o del codominio è quella canonica avrai la matrice unità, ed il tuo prodotto si ridurrà a due termini.
Spero di esserte stati d'aiuto ciao!
ok dunque il mio problema è queto esercizio:
Sia A una matrice 3x3 dell applicazione (F,B,B') dove B base canonica e B' altra base (espressa ma non importa).
Trovare mat(f,B',B').
Io ho svolto così:
ho trovato quella che secondo me è la matrice di passaggio, ovvero una matrice 3x3 dove le colonne sono I VETTORI DELLA BASE B espressi con le coordinate RISPETTO ALLA BASE B', quindi sia questa matrice di passaggio Mp.
Poi ho fatto:
A * Mp
e la matrice risultante mi aspettavo fosse il risultato.
Ma facendo i conti con un vettore non mi pare sia buono..
il metodo ha degli errori?
grazie 100000.
Sia A una matrice 3x3 dell applicazione (F,B,B') dove B base canonica e B' altra base (espressa ma non importa).
Trovare mat(f,B',B').
Io ho svolto così:
ho trovato quella che secondo me è la matrice di passaggio, ovvero una matrice 3x3 dove le colonne sono I VETTORI DELLA BASE B espressi con le coordinate RISPETTO ALLA BASE B', quindi sia questa matrice di passaggio Mp.
Poi ho fatto:
A * Mp
e la matrice risultante mi aspettavo fosse il risultato.
Ma facendo i conti con un vettore non mi pare sia buono..
il metodo ha degli errori?
grazie 100000.
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