Cambiamento di base
Non riesco a capire molto bene questo argomento.
Se ad esempio ho le 2 basi
$B=((3,4,1);(1,1,0);(-3,-5,-1))$ e $A=((6,2,0);(2,0,4);(4,4,-5))$ come mi conviene fare a trovare la matrice di passaggio?
So che posso trovare in maniera molto semplice $H_B^(E_3)$ rispetto alla base canonica e $H_A^(E_3)$ della quale poi posso fare l'inversa(in maniera un po' meno semplice) e fare infine la moltiplicazione di matrici ottenendo $H_B^A=(H_A^(E_3))^(-1)*H_B^(E_3)=H_(E_3)^A*H_B^(E_3)$
(o almeno mi sembra si possa fare così)
Se voglio farlo direttamente senza passare per la base canonica invece, come devo fare?
Ciao, grazie
Se ad esempio ho le 2 basi
$B=((3,4,1);(1,1,0);(-3,-5,-1))$ e $A=((6,2,0);(2,0,4);(4,4,-5))$ come mi conviene fare a trovare la matrice di passaggio?
So che posso trovare in maniera molto semplice $H_B^(E_3)$ rispetto alla base canonica e $H_A^(E_3)$ della quale poi posso fare l'inversa(in maniera un po' meno semplice) e fare infine la moltiplicazione di matrici ottenendo $H_B^A=(H_A^(E_3))^(-1)*H_B^(E_3)=H_(E_3)^A*H_B^(E_3)$
(o almeno mi sembra si possa fare così)
Se voglio farlo direttamente senza passare per la base canonica invece, come devo fare?
Ciao, grazie
Risposte
Devi scrivere i vettori di $B$ rispetto alla base $A$, e sistemarli in una matrice come colonne. Per ogni vettore di $B$, devi determinare una terna di valori, $\alpha, \beta, \gamma$, tali che $(b_1, b_2, b_3) = \alpha a_1 + \beta a_2 + \gamma a_3$, dove $(b_1, b_2, b_3)$ è il vettore di $B$ considerato, e $a_i$ sono i vettori di $A$.
Ad esempio, per scrivere il vettore $(3,4,1)$ rispetto alla base $A$, devi trovare $\alpha, \beta, \gamma$ tali che:
$((3),(4),(1)) = \alpha((6),(2),(0)) + \beta ((2),(0),(4)) + \gamma((4),(4),(-5))$
si ottiene quindi questo sistema:
$\{(6 \alpha + 2\beta + 4 \gamma = 3),(2 \alpha + 4 \gamma = 4),(4 \beta - 5 \gamma = 1):}$
Una volta risolto si può dire che il primo vettore di $B$, scritto rispetto alla base $A$, è $((\alpha),(\beta),(\gamma))$, questa quindi è la prima colonna della matrice del cambio di coordinate.
Ad esempio, per scrivere il vettore $(3,4,1)$ rispetto alla base $A$, devi trovare $\alpha, \beta, \gamma$ tali che:
$((3),(4),(1)) = \alpha((6),(2),(0)) + \beta ((2),(0),(4)) + \gamma((4),(4),(-5))$
si ottiene quindi questo sistema:
$\{(6 \alpha + 2\beta + 4 \gamma = 3),(2 \alpha + 4 \gamma = 4),(4 \beta - 5 \gamma = 1):}$
Una volta risolto si può dire che il primo vettore di $B$, scritto rispetto alla base $A$, è $((\alpha),(\beta),(\gamma))$, questa quindi è la prima colonna della matrice del cambio di coordinate.
OK, ora mi è molto più chiaro. Ad ogni modo, è possibile fare anche come ho fatto io, vero?
Sure.
e se io invece conosco la matrice del cambiamento di base da una base $B$ ad una base $D$ come faccio?
A fare che?
se io conosco la matrice del cambiamento di base da una base $B$ alla base $D$ (di cui conosco i vettori) come faccio a trovare $B$? Oppure conosco $B$ e voglio trovare $D$
Sinceramente non capisco, i vettori di $B$ o $D$ dovrebbero essere dati, magari con le coordinate riferite rispetto alla base canonica...
"lazza":
se io conosco la matrice del cambiamento di base da una base $B$ alla base $D$ (di cui conosco i vettori) come faccio a trovare $B$? Oppure conosco $B$ e voglio trovare $D$
Forse hai semplicemente fatto un po' di confusione sull'argomento(almeno, questo è quello che è successo a me all'inizio), cmq quello che stai chiedendo è praticamente la stessa richiesta che ho fatto io nella 1° domanda del topic. E poi come ha detto Tipper, devi dire quali siano gli elementi della base, altrimenti non ha senso come domanda..
Ciao
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