Cambiamenti di base su forme bilineari
Buonasera,
Riprendo un concetto di teoria per esporvi la parte che mi sfugge:
Sia $B={\vec e_1,...,\vec e_n}$ base di $V_n$ (spazio vettoriale di dimensione finita su $R$) e sia $A'=M_(B')(beta)$ ($beta$ forma bilineare $beta: V_n xx V_n->RR$)
Sia $beta(\vec x,\vec y)=X'^tA'Y'$
Ora, vogliamo passare dalla base $B$ alla base $B'$ tramite la matrice del cambiamento di base $C$ che ha per colonne i vettori della base $B'$ espressi come combinazione lineare dei vettori della base $B$
Esprimo $X=CX'$ e $Y=CY'$
Si avrà $X^tAY=(CX')^tA(CY')=X'^tC^tACY'$ e qui il passaggio che non capisco:
$X'^tA'Y'=X'^tC^tACY'$ Perché?
Da cui segue che $A'=C^tAC$ e si conclude (perché?) che le matrici $A$ e $A'$ sono congruenti.
Riprendo un concetto di teoria per esporvi la parte che mi sfugge:
Sia $B={\vec e_1,...,\vec e_n}$ base di $V_n$ (spazio vettoriale di dimensione finita su $R$) e sia $A'=M_(B')(beta)$ ($beta$ forma bilineare $beta: V_n xx V_n->RR$)
Sia $beta(\vec x,\vec y)=X'^tA'Y'$
Ora, vogliamo passare dalla base $B$ alla base $B'$ tramite la matrice del cambiamento di base $C$ che ha per colonne i vettori della base $B'$ espressi come combinazione lineare dei vettori della base $B$
Esprimo $X=CX'$ e $Y=CY'$
Si avrà $X^tAY=(CX')^tA(CY')=X'^tC^tACY'$ e qui il passaggio che non capisco:
$X'^tA'Y'=X'^tC^tACY'$ Perché?
Da cui segue che $A'=C^tAC$ e si conclude (perché?) che le matrici $A$ e $A'$ sono congruenti.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo