Cambiamenti di base in dimensioni diverse.
Salve a tutti,
alcuni esercizi di algebra lineare richiedono di trovare la matrice associata ad un'applicazione lineare che ha il dominio espresso in una base e il codominio in un altra.
La matrice che da l'esercizio è in genere espressa rispetto ad una base diversa da quella canonica e dalle due che l'esercizio richiede di assegnare rispettivamente al domino e al codominio.
In che consiste il procedimento di questo esercizio ? Che linea logica devo seguire ?
alcuni esercizi di algebra lineare richiedono di trovare la matrice associata ad un'applicazione lineare che ha il dominio espresso in una base e il codominio in un altra.
La matrice che da l'esercizio è in genere espressa rispetto ad una base diversa da quella canonica e dalle due che l'esercizio richiede di assegnare rispettivamente al domino e al codominio.
In che consiste il procedimento di questo esercizio ? Che linea logica devo seguire ?
Risposte
Se la base di partenza è diversa da quella canonica puoi procedere nel modo usuale ovvero vedendo come i vettori di tale base si trasformano nella nuova base.
Se ti è più comodo (anche se più laborioso) puoi trasformare dalla base data a quella canonica e poi da quella canonica a quella nuova. Inoltre così facendo ti accorgerai che ciò equivale a fare quanto detto sopra.
Se ti è più comodo (anche se più laborioso) puoi trasformare dalla base data a quella canonica e poi da quella canonica a quella nuova. Inoltre così facendo ti accorgerai che ciò equivale a fare quanto detto sopra.
Il procedimento di cambiamento di base mi è abbastanza chiaro, il problema mi sorge quando nel cambiamento di base devo avere il dominio in una base e il codominio in un altra.
Ok. Ragioniamo in questo modo:
Sia $f: V \to W : \mathbf{x} \mapsto \mathbf{y} = f(\mathbf{x})$. Siano $B,C$ due basi di $V$ e $D,E$ due basi di $W$. Sia $A$ la matrice che rappresenta $f$ rispetto alla base $B$ di $V$ e $D$ di $W$.
Avremo quindi:
\[\mathbf{y} = A\mathbf{x}\]
Dove i vettori $\mathbf{x},\mathbf{y}$ sono rispettivamente del dominio e del codominio (più specificamente immagine).
Cambiamo la base al dominio:
\[\mathbf{y} = A(T^B_C \mathbf{x}) = AT^B_C \mathbf{x}\]
Cambiamo ora base al codominio:
\[T^D_E\mathbf{y} = AT^B_C \mathbf{x} \rightarrow \mathbf{y} = (T^D_E)^{-1}AT^B_C \mathbf{x}\]
La matrice \[B = (T^D_E)^{-1}AT^B_C \] è la matrice che rappresenta la tua applicazione lineare rispetto alle nuove basi.
Sperando di non aver commesso errori di indici o altro
Sia $f: V \to W : \mathbf{x} \mapsto \mathbf{y} = f(\mathbf{x})$. Siano $B,C$ due basi di $V$ e $D,E$ due basi di $W$. Sia $A$ la matrice che rappresenta $f$ rispetto alla base $B$ di $V$ e $D$ di $W$.
Avremo quindi:
\[\mathbf{y} = A\mathbf{x}\]
Dove i vettori $\mathbf{x},\mathbf{y}$ sono rispettivamente del dominio e del codominio (più specificamente immagine).
Cambiamo la base al dominio:
\[\mathbf{y} = A(T^B_C \mathbf{x}) = AT^B_C \mathbf{x}\]
Cambiamo ora base al codominio:
\[T^D_E\mathbf{y} = AT^B_C \mathbf{x} \rightarrow \mathbf{y} = (T^D_E)^{-1}AT^B_C \mathbf{x}\]
La matrice \[B = (T^D_E)^{-1}AT^B_C \] è la matrice che rappresenta la tua applicazione lineare rispetto alle nuove basi.
Sperando di non aver commesso errori di indici o altro
Ti ringrazio 
Un'unica cosa:
nelle "tue" formule cambi base al dominio , per esempio, inserendo la sola matrice di passaggio da B a C per l' appunto.
Nella formula che ho studiato per il cambio di base tuttavia io inserisco sia la matrice di passaggio da B a C , sia la sua inversa , il tutto moltiplicato per la data matrice associata all' a.l in una data base e questo prodotto mi da la matrice associata all' a.l nell'altra base.
Perché invece tu non le inserisci tutte e due le matrici di passaggio ?
Un'unica cosa:
nelle "tue" formule cambi base al dominio , per esempio, inserendo la sola matrice di passaggio da B a C per l' appunto.
Nella formula che ho studiato per il cambio di base tuttavia io inserisco sia la matrice di passaggio da B a C , sia la sua inversa , il tutto moltiplicato per la data matrice associata all' a.l in una data base e questo prodotto mi da la matrice associata all' a.l nell'altra base.
Perché invece tu non le inserisci tutte e due le matrici di passaggio ?
Penso tu ti stia riferendo al caso di un endomorfismo (ovvero una funzione da uno spazio $V$ in se stesso).
Quello è un caso particolare del precedente, in quel caso infatti $f$ è definita così $f: V \to V$ e quindi il dominio coincide con il codominio.
Di conseguenza le due matrici del cambio base dominio-codominio coincidono. Si avrà quindi:\[ T^B_C = T^D_E \longrightarrow B = (T^B_C)^{-1}AT^B_C \]
Che credo sia la formula a cui tu ti riferisci.
Quello è un caso particolare del precedente, in quel caso infatti $f$ è definita così $f: V \to V$ e quindi il dominio coincide con il codominio.
Di conseguenza le due matrici del cambio base dominio-codominio coincidono. Si avrà quindi:\[ T^B_C = T^D_E \longrightarrow B = (T^B_C)^{-1}AT^B_C \]
Che credo sia la formula a cui tu ti riferisci.
Ti seguo , mi stai facendo chiudere l'ultimo "cerchio" rimasto aperto di algebra lineare e per questo ti ringrazio moltissimo.
Però, tu mi dici che se si tratta di un endomorfismo lo spazio di partenza coincide con quello di arrivo.(dominio=codominio)
Ma allora mi viene un dubbio
, essendo un endomorfismo un' a.l di uno spazio in se stesso, lo spazio di arrivo avrà la stessa dimensione dello spazio di partenza,
ecco, prendendo due spazi qualunque V e B , entrambi di dimensione 3 e stabilendo un' a.l tra questi due spazi, basterebbe l'uguaglianza dimensionale a far si che si tratti di un endomorfismo ?
Ho la sensazione che questa sia un mio grande buco cancettuale
e per questo ti ringrazio moltissimo.Però, tu mi dici che se si tratta di un endomorfismo lo spazio di partenza coincide con quello di arrivo.(dominio=codominio)
Ma allora mi viene un dubbio
, essendo un endomorfismo un' a.l di uno spazio in se stesso, lo spazio di arrivo avrà la stessa dimensione dello spazio di partenza,ecco, prendendo due spazi qualunque V e B , entrambi di dimensione 3 e stabilendo un' a.l tra questi due spazi, basterebbe l'uguaglianza dimensionale a far si che si tratti di un endomorfismo ?
Ho la sensazione che questa sia un mio grande buco cancettuale
"Light1992":
ecco, prendendo due spazi qualunque V e B , entrambi di dimensione 3 e stabilendo un' a.l tra questi due spazi, basterebbe l'uguaglianza dimensionale a far si che si tratti di un endomorfismo ?
No. Potrebbe essere che gli elementi di $V$ sono pere e quelli di $B$ sono canguri
ho capito, e nel caso si trattasse proprio di pere e canguri, avrei il cambiamento di base proprio come me l'hai presentato tu nella tua prima risposta.
Sbaglio ?
Esatto quello è il cambio base per un'applicazione $f: V \to W$ tra due spazi vettoriali qualsiasi! 
EDIT: avevo dimenticato l'apostrofo
EDIT: avevo dimenticato l'apostrofo
Grazie sei stato chiarissimo !
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