Cambiamenti di base

[alevise1992]

Ciao ragazzi

ho una domanda inerente l'argomento da me posto in titolo.

Supponiamo di avere uno spazio vettoriale $ V $ in cui ho posto come base

$ A = < (1,-1,0),(0,-2,-1),(4,-1,1) > $

e un altro spazio $ W $ con base la canonica

$ C = < (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) > $

Creo ora un'applicazione lineare $ f: V -> W $ tale che $ f(a1) = a3 , f(a2) = 2a3 , f(a3) = 0 $ , con $ a1 , a2 , a3 $ vettori della base $ A $

Banalmente, la matrice di questa applicazione lineare rispetto le due basi sarà
$ H_(f,A->C) = ( ( 4 , 8 , 0 ),( -1 , -2 , 0 ),( 1 , 2 , 0 ) ) $
Ora voglio trasformare questa matrice in maniera tale che utilizzi la base canonica anche nello spazio di partenza (dominio).

In formula:

$ H_(f,C->C) = H_(f,A->C)H_(C->A) $

dove per ottenere la matrice voluta moltiplico la matrice delle immagini per la matrice di cambiamento di base dalla vecchia base alla canonica. Facendo un paio di conti si ottiene:

$ H_(f,C->C) = ( ( 4 , 8 , 0 ),( -1 , -2 , 0 ),( 1 , 2 , 0 ) ) ( ( -3 , -4 , 8 ),( 1 , 1 , -3 ),( 1 , 1 , 2 ) ) = ( ( -4 , -8 , 8 ),( 1 , 2 , -2 ),( -1 , -2 , 2 ) ) $

Il problema sorge qui, in quanto dovrei ora trovare la base dello spazio $ V $ tale che la matrice della funzione diventi

$ M_(f,D->C) = ( ( 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $

Io avrei risolto semplicemente come prima, scrivendo che

$ M_(f,D->C) = H_(f,C->C)M_(D->C) $

Ponendo dunque

$ ( ( 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) = ( ( -4 , -8 , 8 ),( 1 , 2 , -2 ),( -1 , -2 , 2 ) ) ( ( x1 , y1 , z1 ),( x2 , y2 , z2 ),( x3 , y3 , z3 ) ) $

mentre nella risoluzione mi si dice di risolverlo utilizzando la formula di cambio di base

$ M_(f,D->C) = M_(C->D)H_(f,C->C)M_(D->C) $

che è evidentemente diversa dalla mia. Non riesco a capire che differenza ci sia tra il primo caso in cui ho usato con successo la formula e questo secondo caso in cui invece devo cambiare risoluzione. Ai miei occhi inesperti sembrano due casi identici

Grazie anticipatamente per le risposte

[Samy211]

Ciao,

cerchiamo di fare un pò di chiarezza.
Hai due basi dello stesso spazio vettoriale $V$, esattamente
$A=[v_1, v_2, ..., v_n]$
$B=[u_1, u_2, ..., u_n]$

La matrice di cambiamento di base da $A$ in $B$, che chiameremo $P^(A,B)$ è definita dai vettori $[v_1]_B , ...,[v_1]_B$ in colonna (esattamente come si fa quando si trova la matrice associata ad una a.l.) ed opera nel modo seguente:
$P^(A,B)[v]_A=[v]_B$ cioè le componenti del vettore $v$ passano in base $B$.

Quando si ha una matrice associata ad una data a.l. chiamata $M^(A,B)$ e la si vuole trovare in relazione alle basi $A',B'$ si può usare la formula che hai scritto, considerando le matrici di cambiamento basi:
$M^(A',B')= P^(B,B') M^(A,B) P^(B',B)$ ricordando che $(P^(B,B'))^(-1)=P^(B',B)$ (si invertono gli indici).

Chiaro?

[alevise1992]

L'ultima riga non è apparsa in codice non si capisce

[Samy211]

"alevise1992":L'ultima riga non è apparsa in codice non si capisce

Hai ragione scusa, ho sistemato

[alevise1992]

Quello che non mi torna allora è che la matrice di cambiamento di base del co-dominio secondo il mio ragionamento dovrebbe essere una matrice che prende in entrata combinazioni scritte nella canonica e restituire combinazioni scritte nella canonica, cioè la matrice identica.

Questo perchè la base del co-dominio resta comunque la base canonica, mentre quella che cambia è la base del dominio

[alevise1992]

Ho capito errore mio, non avevo considerato una cosa nel testo .

Grazie infinite per la spiegazione cmq

[Samy211]

"alevise1992":Ho capito errore mio, non avevo considerato una cosa nel testo .

Grazie infinite per la spiegazione cmq

Prego, l'importante è avere tutto chiaro adesso.