Cambi di coordinate su varietà differenziabili

[marco.bre]

Se $M$ è una varietà differenziabile di classe $C^k$ e $(U,x)$,$(V,y)$ sono due carte locali, per l'ipotesi di compatibilità so che i "cambi di coordinate" $y^-1 circ x$ e $x^-1 circ y$, definiti sulle controimmagini di $U nn V$, sono di classe $C^k$. Però questi cambi di coordinate non sono necessariamente l'uno l'inverso dell'altro, ma posso assumere che entrambi siano invertibili? Fatta questa assunzione posso dedurre che queste due trasformazioni sono non singolari? Questo è quello che mi pare di aver capito leggendo lo Spivak vol.1, in particolare pag 39-40.

[maurer]

La risposta è sì ad entrambe le domande. Per definizione di carta, le mappe [tex]x,y[/tex] sono omeomorfismi. Quindi [tex](y^{-1} \circ x) \circ (x^{-1} \circ y) = y^{-1} \circ ( x \circ x^{-1} \circ y = y^{-1} \circ y = \text{id}_{y^{-1}(U \cap V)}[/tex] e l'altra composizione è analoga.
Se poi [tex]k \ge 1[/tex], allora la risposta alla tua seconda domanda è affermativa per la legge di derivazione della funzione composta!

[marco.bre]

Per prima cosa grazie della pronta risposta.

"maurer":Se poi [tex]k \ge 1[/tex], allora la risposta alla tua seconda domanda è affermativa per la legge di derivazione della funzione composta!

Cioè, dimmi se ho capito bene... Se $x=(x^1,...,x^n)$ e $y=(y^1,...,y^n)$ allora

$delta^j_i=(dely^i)/(dely^j)= sum_k (delx^k)/(dely^j) (dely^i)/(delx^k) forall i,j$

e quindi

$det(I_n)=det(J) det(J^-1) Rightarrow det(J),det(J^-1) != 0$

dove $J$ è la matrice jacobiana del cambio di coordinate.

[maurer]

Esattamente così.
E come saprai, vale il viceversa! XD Non singolare implica invertibile, per il teorema delle funzioni implicite (o del Dini o come lo si vuole chiamare).

[marco.bre]

Chiaro chiaro, grazie dell'aiuto!