Cambi di base e matrici associate strane
Ciao ragazzi!
Vorrei postarvi un esercizio tratto da un tema d'esame che ho sostenuto e la mia soluzione che purtroppo si è rivelata essere non corretta(non so ancora il perché). Mi piacerebbe se poteste chiare i miei dubbi!
"Consideriamo una applicazione $ F: \mathbb{R}^2 ->\mathbb{R}^2 $ tale che $ F( (2), (5) ) = ((1), (0)) $ e $ F( (1), (3) ) = ((0), (1)) $
1. Scrivere la matrice associata ad F rispetto alle basi standard.
2. Scrivere la matrice associata ad F rispetto alle basi $ ((1), (1)) , ((0), (1)) $ in partenza e $ ((2), (5)) , ((1), (3)) $ in arrivo. "
Ora, io ho pensato (per risolvere il punto 1) di trovarmi la matrice di cambio base da $((1), (0)), ((0), (1)) $ a $ ((2), (5)) , ((1), (3)) $ e moltiplicare la matrice associata ad F rispetto a $ ((2), (5)) , ((1), (3)) $ per la matrice di cambio base (in modo da dare in pasto alla matrice associata il vettore espresso nelle coordinate dei vettori che ne costituiscono le basi di riferimento) la computazione mi restituirà poi un vettore espresso nella base $ ((2), (5)) , ((1), (3)) $ e pertanto rimoltpilico il risultato ottenuto per la matrice di cambio base da base precedente a base standard, ritrovando così la matrice identità. Ora, so che il risultato è sbagliato, ma ragionandoci questo è il procedimento che adotto SEMPRE per esercizi di questo tipo.
Sono ben consapevole del fatto che questo sia uno di quegli esercizi super facili, ma a quest'ora della sera, rivedendo il compito dato tempo addietro, non riesco proprio a raccapezzarmi!
Vi ringrazio per l'aiuto!
Vorrei postarvi un esercizio tratto da un tema d'esame che ho sostenuto e la mia soluzione che purtroppo si è rivelata essere non corretta(non so ancora il perché). Mi piacerebbe se poteste chiare i miei dubbi!
"Consideriamo una applicazione $ F: \mathbb{R}^2 ->\mathbb{R}^2 $ tale che $ F( (2), (5) ) = ((1), (0)) $ e $ F( (1), (3) ) = ((0), (1)) $
1. Scrivere la matrice associata ad F rispetto alle basi standard.
2. Scrivere la matrice associata ad F rispetto alle basi $ ((1), (1)) , ((0), (1)) $ in partenza e $ ((2), (5)) , ((1), (3)) $ in arrivo. "
Ora, io ho pensato (per risolvere il punto 1) di trovarmi la matrice di cambio base da $((1), (0)), ((0), (1)) $ a $ ((2), (5)) , ((1), (3)) $ e moltiplicare la matrice associata ad F rispetto a $ ((2), (5)) , ((1), (3)) $ per la matrice di cambio base (in modo da dare in pasto alla matrice associata il vettore espresso nelle coordinate dei vettori che ne costituiscono le basi di riferimento) la computazione mi restituirà poi un vettore espresso nella base $ ((2), (5)) , ((1), (3)) $ e pertanto rimoltpilico il risultato ottenuto per la matrice di cambio base da base precedente a base standard, ritrovando così la matrice identità. Ora, so che il risultato è sbagliato, ma ragionandoci questo è il procedimento che adotto SEMPRE per esercizi di questo tipo.
Sono ben consapevole del fatto che questo sia uno di quegli esercizi super facili, ma a quest'ora della sera, rivedendo il compito dato tempo addietro, non riesco proprio a raccapezzarmi!
Vi ringrazio per l'aiuto!
Risposte
non ho proprio seguito tutti i passaggi che hai detto, comunque volendo anche usare il cambio di base è corretto. per vedere se hai fatto errori di conto o procedimento cerca un esercizio già fatto e guarda cosa hai fatto tu.
un modo decisamente più facile, soprattutto se si ha a che fare con le basi canoniche, è quello di trovare le immagini dei vettori di questa base
un modo decisamente più facile, soprattutto se si ha a che fare con le basi canoniche, è quello di trovare le immagini dei vettori di questa base
il fatto è questo: riassumendo in poche parole, parto dalla base canonica, quindi prendo in input un vettore espresso in questa base e calcolo le sue coordinate rispetto alla base di partenza $((2), (5)), ((1), (3)) $ (siano ora questi $ v_1, v_2 $ rispettivamente). Ottenuto il vettore che volevo posso finalmente sfruttare la mia conoscenza della matrice associata ad $F$ rispetto alle basi $ v_1, v_2$ in partenza e arrivo. Moltiplico quindi il vettore per la matrice associata ottenendo così il vettore in output le cui coordinate sono però espresse nella base $v_1, v_1$. Applico allora il cambio base da $v_1, v_2 $ a base canonica, ottenendo proprio in output il vettore in base canonica. Il prof invece si ferma al penultimo passaggio, cioè non fa il cambio base da $v_1, v_2$ a base canonica, una volta ottenuto il vettore in output.
Io invece calcolo la matrice associata rispetto alla base standard in partenza e arrivo concatenando il prodotto delle matrici di cambio base e matrice associata, ottenendo la matrice identità, essendo le matrici di cambio base l'una l'inversa dell'altra, mentre la matrice associata a $v_1, v_2$ in partenza e arrivo proprio la matrice identità. Che essendo nel mezzo del concatenamento (prodotto delle matrici) si semplifica lasciando il prodotto delle due che mi ridanno l'identità.
Io invece calcolo la matrice associata rispetto alla base standard in partenza e arrivo concatenando il prodotto delle matrici di cambio base e matrice associata, ottenendo la matrice identità, essendo le matrici di cambio base l'una l'inversa dell'altra, mentre la matrice associata a $v_1, v_2$ in partenza e arrivo proprio la matrice identità. Che essendo nel mezzo del concatenamento (prodotto delle matrici) si semplifica lasciando il prodotto delle due che mi ridanno l'identità.
mi sembra tu abbia abbastanza confusione in testa, a volte confondi anche i vettori di una base con la base stessa, vedi per esempio
il discorso ancora non mi è chiaro perchè mi sembra anche che mischi insieme i due punti: se stai facendo il primo punto perchè come base di partenza prendi ${((2),(5)),((1),(3))}$ che oltretutto è quella di arrivo del punto 2?
ti spiego in generale come risolvere con entrambi i metodi il punto 1 (base canonica sia in partenza che in arrivo)
Metodo 1
ci servono i vettori immagine dei vettori della base canonica. noto che $e_1 = 3 v_1-5 v_2$ e che $e_2 = - v_1+2 v_2$
per la linearità dell'applicazione quindi
$F(e_1)=((3),(-5))$ e $F(e_2)=((-1),(2))$
in conclusione $A= ( ( 3 , -1 ),( -5 , 2 ) ) $, fine
Metodo 2
1. calcolo la matrice associata ad F rispetto alla base di partenza, ovvero in questo caso A
2. calcolo la matrice di passaggio dalla base di arrivo a quella di partenza che qui risulta essere l'identità (che chiamo sì)
3. calcolo l'inversa della matrice del punto 2 (che chiamo S^(-1)), qui sempre l'identità
4. la matrice cercata è $A_F = S^(-1) A S = A$
"TizioConfuso":
rispetto alla base di partenza (25),(13) (siano ora questi v1,v2 rispettivamente). Ottenuto il vettore che volevo posso finalmente sfruttare la mia conoscenza della matrice associata ad F rispetto alle basi v1,v2 in partenza e arrivo.
il discorso ancora non mi è chiaro perchè mi sembra anche che mischi insieme i due punti: se stai facendo il primo punto perchè come base di partenza prendi ${((2),(5)),((1),(3))}$ che oltretutto è quella di arrivo del punto 2?
ti spiego in generale come risolvere con entrambi i metodi il punto 1 (base canonica sia in partenza che in arrivo)
Metodo 1
ci servono i vettori immagine dei vettori della base canonica. noto che $e_1 = 3 v_1-5 v_2$ e che $e_2 = - v_1+2 v_2$
per la linearità dell'applicazione quindi
$F(e_1)=((3),(-5))$ e $F(e_2)=((-1),(2))$
in conclusione $A= ( ( 3 , -1 ),( -5 , 2 ) ) $, fine
Metodo 2
1. calcolo la matrice associata ad F rispetto alla base di partenza, ovvero in questo caso A
2. calcolo la matrice di passaggio dalla base di arrivo a quella di partenza che qui risulta essere l'identità (che chiamo sì)
3. calcolo l'inversa della matrice del punto 2 (che chiamo S^(-1)), qui sempre l'identità
4. la matrice cercata è $A_F = S^(-1) A S = A$
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