Calcolo volume di un solido
Ciao a tutti
ho il seguente esercizio
Calcolare il volume del corpo
[tex]M = \Bigr\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x^2+y^2+z^2\leq 2 \cup z \ge x^2+y^2 \Bigr\}[/tex]
non ho ben idea di come io possa svolgere questo esercizio.
Quello che ho notato è che la prima delle due disequazioni mi da tutti i punti interni ad una sfera con centro nell'origine e raggio $r=\sqrt{2}$
però non so come metterla in relazione con la seconda disequazione e, di conseguenza, come ricavarne il volume, che suppongo si tratti un integrale triplo probabilmente in coordinate sferiche.
qualcuno potrebbe darmi uno spunto da cui partire?
ho il seguente esercizio
Calcolare il volume del corpo
[tex]M = \Bigr\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x^2+y^2+z^2\leq 2 \cup z \ge x^2+y^2 \Bigr\}[/tex]
non ho ben idea di come io possa svolgere questo esercizio.
Quello che ho notato è che la prima delle due disequazioni mi da tutti i punti interni ad una sfera con centro nell'origine e raggio $r=\sqrt{2}$
però non so come metterla in relazione con la seconda disequazione e, di conseguenza, come ricavarne il volume, che suppongo si tratti un integrale triplo probabilmente in coordinate sferiche.
qualcuno potrebbe darmi uno spunto da cui partire?
Risposte
Puoi procedere osservando che la sfera $[x^2+y^2+z^2=2]$ e il paraboloide $[z=x^2+y^2]$ si intersecano lungo una curva di equazione $[x^2+y^2=1] ^^ [z=1]$. Quindi, proiettando sul piano $[xy]$, si tratta di integrare su $[x^2+y^2<=1]$ la $[z]$ compresa tra il paraboloide e la sfera:
$V=\int_{x^2+y^2<=1}dxdy\int_{x^2+y^2}^{sqrt(2-x^2-y^2)}dz$
Il procedimento è molto simile a quello utilizzato nell'altro esercizio, questa volta si tratta di integrare la $[z]$ compresa tra il paraboloide e la sfera, là si integrava la $[x]$ compresa tra due piani, una volta diviso il volume in due parti. Per semplificare i calcoli, è meglio passare in coordinate polari:
$V=\int_{0}^{2\pi}d\phi\int_{0}^{1}d\rho\rho\int_{\rho^2}^{sqrt(2-\rho^2)}dz$
$V=\int_{x^2+y^2<=1}dxdy\int_{x^2+y^2}^{sqrt(2-x^2-y^2)}dz$
Il procedimento è molto simile a quello utilizzato nell'altro esercizio, questa volta si tratta di integrare la $[z]$ compresa tra il paraboloide e la sfera, là si integrava la $[x]$ compresa tra due piani, una volta diviso il volume in due parti. Per semplificare i calcoli, è meglio passare in coordinate polari:
$V=\int_{0}^{2\pi}d\phi\int_{0}^{1}d\rho\rho\int_{\rho^2}^{sqrt(2-\rho^2)}dz$
grazie mille per la risposta
ho due dubbi però.
hai trovato $z=1$ perchè hai sostituito la seconda equazione nella prima e quindi ti è venuta un'equazione di secondo grado in $z$ giusto?
se così fosse le due soluzioni di questa equazione sarebbe $z_1=1$ e $z_2=-2$
per quale motivo poi hai preso solo la prima soluzione?
il secondo dubbio che non mi è chiaro è il metodo che usi di proiettare su un piano.
Perdonami, ma non riesco a seguire il ragionamento
inoltre cosa intendi con
[tex]\int_{x^{2}+y^{2} \leq 1} dxdy[/tex] ?
intendi un qualche tipo di integrale di superficie? lo chiedo perchè con una disequazione non saprei come vederlo
ho due dubbi però.
hai trovato $z=1$ perchè hai sostituito la seconda equazione nella prima e quindi ti è venuta un'equazione di secondo grado in $z$ giusto?
se così fosse le due soluzioni di questa equazione sarebbe $z_1=1$ e $z_2=-2$
per quale motivo poi hai preso solo la prima soluzione?
il secondo dubbio che non mi è chiaro è il metodo che usi di proiettare su un piano.
Perdonami, ma non riesco a seguire il ragionamento
inoltre cosa intendi con
[tex]\int_{x^{2}+y^{2} \leq 1} dxdy[/tex] ?
intendi un qualche tipo di integrale di superficie? lo chiedo perchè con una disequazione non saprei come vederlo
"Summerwind78":
... hai trovato $z=1$ perchè hai sostituito la seconda equazione nella prima e quindi ti è venuta un'equazione di secondo grado in $z$ giusto? se così fosse le due soluzioni di questa equazione sarebbe $z_1=1$ e $z_2=-2$, per quale motivo poi hai preso solo la prima soluzione?
$[z=-2]$ non è accettabile, il paraboloide $[z=x^2+y^2]$ si sviluppa nel semipiano $[z>=0]$.
"Summerwind78":
il secondo dubbio che non mi è chiaro è il metodo che usi di proiettare su un piano.
Se non hai fatto una rappresentazione grafica, ti consiglio di farla. Prova a disegnare la sfera e il paraboloide, forse ti sembrerà più chiaro. In teoria, questi esercizi potrebbero essere fatti manipolando opportunamente le equazioni, senza aiutarsi con il grafico. Ma ti posso assicurare che, quando è possibile fare un grafico per semplificare il procedimento, tutti lo fanno. Se fai il grafico, dovresti accorgerti che per ogni retta parallela all'asse $[z]$ mandata nella regione $[x^2+y^2<=1]$, intersechi sempre prima il parabooide o dopo la sfera. Quindi si tratta di integrare la $[z]$ in questo intervallo nella regione suddetta, il procedimento di cui sopra. Tieni presente che si potrebbe anche procedere con le coordinate sferiche, ho ritenuto di fare così perchè assomigliava di più al procedimento che ho utilizzato nell'altro esercizio, sicuramente il più semplice per risolverlo con un integrale triplo.
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