Calcolo vettore avendo piano giacenza ed angoli piani
Salve. Dati due vettori $u$, $v$, considerando il piano $\Pi$ da essi individuato e passante per l'origine di $R^3$, devo ritrovare un vettore $w$ tale che:
1. Giaccia su $\Pi$
2. L'angolo su $\Pi$ fra $u$ e $w$ sia noto e pari ad $\alpha$
3. L'angolo su $\Pi$ fra $v$ e $w$ sia noto e pari a $\beta$
Come fare?
1. Giaccia su $\Pi$
2. L'angolo su $\Pi$ fra $u$ e $w$ sia noto e pari ad $\alpha$
3. L'angolo su $\Pi$ fra $v$ e $w$ sia noto e pari a $\beta$
Come fare?
Risposte
Se giace sul piano generato dai vettori $u,v$, allora è una loro combinazione lineare. Per Le condizioni sugli angoli si usa il prodotto scalare (con la definizione del coseno di un angolo tra due vettori).
Grazie per la risposta. Mi sono scordato, precedentemente, di indicare che, per l'applicazione particolare in cui mi trovo, tutti i vettori, sia $u$ che $v$ che $w$, hanno punto d'applicazione nell'origine degli assi cartesiani. Inoltre, il mio problema esiste in $R^3$. Dalla risposta, ho pensato che, se $u$ e $v$ sono linearmente indipendenti, posso risolvere un sistema di 3 equazioni in tre incognite, grazie al quale ritrovare le tre componenti di $w$:
$\{(u \cdot w = \cos(\alpha)),(v \cdot w = \cos(\beta)),(n_1x + n_2y + n_3z = 0):}$
dove $x, y, z$ sono le componenti del vettore incognito, mentre $n = u \times v -= (n_1, n_2, n_3)$.
Se $u$ e $v$ sono, invece, linearmente dipendenti, allora essi sono coincidenti per l'applicazione particolare in cui mi trovo. In questo caso le cose si complicano e non riesco ad immaginare come fare. So che $u -= v$ e quindi $\alpha -= \beta$. Se considero un nuovo sistema di riferimento $0-u-y'-z'$, faccio per semplicità giacere $w'$ sul piano $uy' => w' = (\cos(\alpha), \sin(\alpha), 0)$. In più, $z' = u \times w'$. Ora, come faccio a riportare $w'$ nelle coordinate cartesiane del sistema originario $0-x-y-z$, conoscendo l'angolo $\phi$ fra $u$ ed il piano $xy$ (elevazione), nonchè l'angolo $\theta$ fra l'asse $x$ e la proiezione di $u$ sul piano $xy$ (azimuth)?
$\{(u \cdot w = \cos(\alpha)),(v \cdot w = \cos(\beta)),(n_1x + n_2y + n_3z = 0):}$
dove $x, y, z$ sono le componenti del vettore incognito, mentre $n = u \times v -= (n_1, n_2, n_3)$.
Se $u$ e $v$ sono, invece, linearmente dipendenti, allora essi sono coincidenti per l'applicazione particolare in cui mi trovo. In questo caso le cose si complicano e non riesco ad immaginare come fare. So che $u -= v$ e quindi $\alpha -= \beta$. Se considero un nuovo sistema di riferimento $0-u-y'-z'$, faccio per semplicità giacere $w'$ sul piano $uy' => w' = (\cos(\alpha), \sin(\alpha), 0)$. In più, $z' = u \times w'$. Ora, come faccio a riportare $w'$ nelle coordinate cartesiane del sistema originario $0-x-y-z$, conoscendo l'angolo $\phi$ fra $u$ ed il piano $xy$ (elevazione), nonchè l'angolo $\theta$ fra l'asse $x$ e la proiezione di $u$ sul piano $xy$ (azimuth)?
"Matteo Cacciola":
Dati due vettori $u$, $v$, considerando il piano $\Pi$ da essi individuato
Se generano il piano, come possono essere linearmente dipendenti? Comunque le prime due equazioni sono un po' più complicate:
$$u\cdot w=\|u\|\cdot\|w\|\cdot\cos\alpha,\qquad v\cdot w=\|v\|\cdot\|w\|\cdot\cos\beta$$
Quello che dicevo io è che, visto che $w$ appartiene al piano, deve avere la forma $w=au+bv$...
"ciampax":
Se generano il piano, come possono essere linearmente dipendenti? Comunque le prime due equazioni sono un po' più complicate:
$$u\cdot w=\|u\|\cdot\|w\|\cdot\cos\alpha,\qquad v\cdot w=\|v\|\cdot\|w\|\cdot\cos\beta$$
Quello che dicevo io è che, visto che $w$ appartiene al piano, deve avere la forma $w=au+bv$...
$u$ e $v$ hanno norma unitaria. Ok per la formula $w=au+bv$, ma comunque devo univocamente determinare la coppia $(a,b) \in R^2$. Se ci fai caso, avrei 5 incognite (3 componenti di $w$ più $(a,b)$). Col mio sistema presentato precedentemente ho 3 equazioni in 3 incognite (le 3 componenti di $w$).
Il problema permane per me irrisolto quando $u -= v$. In questo caso, ovviamente, $u$ e $v$ non possono generare alcun piano $\Pi$. Peró posso effettuare nuove considerazioni. Mi spiego meglio. Ti prego di seguire attentamente il mio ragionamento.
Posso determinare, come scrivevo all'inizio, l'angolo $\alpha -= \beta$ fra $u -= v$ e $w$. Allora ho pensato: considero un nuovo sistema di riferimento $0−u−y'−z'$, faccio per semplicità giacere $w'$ sul piano $uy' => w'=(\cos(\alpha),\sin(\alpha),0)$. In più, come è ovvio, $z'=u \times w'$. Ora, come faccio a riportare $w'$ nelle coordinate cartesiane del sistema originario $0−x−y−z$? Rispetto al mio messaggio precedente, però, lascia perdere le mie considerazioni sugli angoli di precessione $\phi$, nutazione $\delta$ e rotazione propria $\psi$: erravo nel leggere il grafico degli angoli di Eulero. Il mio problema, peró, rimane irrisolto: come fare se $u -= v$?
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