Calcolo triviale (penso)

[Nebula2]

sia, fissato $m$, $g(n) := sum_{i=1}^n e^{2 pi i frac{hm}{n}}$.
se $n | m$ allora $g(n)= n$. e fin qui ci sto.
ma non capisco perchè $g(n)=0$ altrimenti.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Forse l'indice che scorre nella sommatoria è h e non i ?

[Nebula2]

"Martino":Forse l'indice che scorre nella sommatoria è h e non i ?

sì, è vero, la sommatoria corretta è $g(n) := sum_{h=1}^n e^{2 pi i frac{hm}{n}}$, con $i^2=-1$.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Se poni $a=a_{m,n}=e^{2 \pi i}m/n$ risulta che $g_m(n)=\sum_{h=1}^n a^h = a \sum_{h=0}^{n-1}a^h$. Ora ricordando che $x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1)$, deduci che:

- Se $a \ne 1$ allora $\sum_{h=0}^{n-1}a^h = (a^n-1)/(a-1)$,

- Se $a=1$ allora $a\sum_{h=0}^{n-1}a^h=\sum_{h=0}^{n-1}1=n$.

Ora, $a=e^{2 \pi i}m/n$ è uguale ad 1 se e solo se $m/n$ è intero, ovvero $n$ divide $m$. In caso contrario $a \ne 1$, e $a^n=(e^{2 \pi i}m/n)^n=e^{2 \pi i m}=1$.

[Sk_Anonymous]

Io mi sono rifatto a certe formule piu' o meno note (le somme sono tutte da h=1 ad h=n):
(1) $sumsin(hx)=(sin(((n+1)x)/2)*sin((nx)/2))/(sin((x)/2)),sumcos(hx)=(sin((n+1/2)x))/(2sin((x)/2))-1/2$
Se n non divide m si puo' porre m=qn+r con q ed r interi tali che q>=0 e 0 $sume^((2 pi j m)/nh)=sum [e^(2 pi j qh)*e^(j(2 pi r)/nh)]=sum e^(j(2 pi r)/nh) =sum cos((2 pi r)/nh)+jsum sin((2 pi r)/nh)$
Applicando ora le (1) per $x=(2 pi r)/n$ , ne consegue che la somma dei seni e' nulla perche' il fattore
$sin ((nx)/2)$ diventa $sin(n/2*2 pi r/n)=sin(pi r)=0$ mentre la somma dei coseni diventa
$sin((n+1/2)(2 pi r/n))/(2sin(( pi r)/n))-1/2=(sin(( pi r)/n))/(2sin(( pi r)/n))-1/2=1/2-1/2=0$
Pertanto nel caso di m non divisibile per n la somma e' nulla.