Calcolo rotazione e traslazione di una nuova origine
Ciao a tutti,
sulla scia di un altro mio topic,chiedo alla community un aiuto sperando in un valido aiuto.
Ho un punto (x,y) con coordinate riferite a xOy. Lo stesso punto ha anche coordinate (x',y') riferito x'O'y'.
Quello che voglio sapere è come ricavare l'angolo e la traslazione tra le due origini?
Mi serve...vi prego
sulla scia di un altro mio topic,chiedo alla community un aiuto sperando in un valido aiuto.
Ho un punto (x,y) con coordinate riferite a xOy. Lo stesso punto ha anche coordinate (x',y') riferito x'O'y'.
Quello che voglio sapere è come ricavare l'angolo e la traslazione tra le due origini?
Mi serve...vi prego





Risposte
Sia \(\mathbf{0}'\) il vettore $n$-upla delle coordinate di \(O'\) rispetto al primo riferimento considerato, nel tuo caso $xOy$, anche se quanto sto per dire vale per qualunque spazio affine di qualunque dimensione $n$, e sia \(A=M_{\boldsymbol{b}',\boldsymbol{b}}(\mathbf{1_V})\) la matrice del cambiamento di coordinate dello spazio vettoriale $\mathbf{V}$ associato dalla prima base \(\boldsymbol{b}\) alla seconda base \(\boldsymbol{b}'\) , cioè la matrice che ha per $j$-esima colonna il vettore colonna delle coordinate del $j$-esimo vettore della prima base espresse secondo la seconda base, cioè nel tuo caso la matrice che esprime la rotazione contraria (in cui come sai cambiano solo i segni dei seni) a quella che porta i vettori della prima base in quelli della seconda, allora le coordinate nel primo riferimento $\mathbf{x}$ di un punto $P$ diventano, nel secondo riferimento, nel tuo caso \(x'O'y'\),\[\mathbf{x}'=A\mathbf{x}+\mathbf{0}'\]
cioè \(A\mathbf{x}=\mathbf{x}'-\mathbf{0}'\). Quindi se hai per esempio $\mathbf{0}'$, che devi conoscere, altrimenti non hai dati sufficienti per risolvere il tuo problema, e $\mathbf{x}'$ e $A$ è una matrice di rotazione $2\times 2$, se ne possono calcolare gli elementi utilizzando la formula che ti indica stormy qua ponendo $\mathbf{x}'-\mathbf{0}'=(x'_0,y'_0)$ e $\mathbf{x}=(x_0,y_0)$. Naturalmente da tale formula deduci quanto vale $\alpha$ con un po' di trigonometria e mi pare che si abbia
\(\cos\alpha \geq 0\Rightarrow \alpha=\arcsin(\sin\alpha)\)
\(\sin\alpha \geq 0\Rightarrow \alpha=\arccos(\cos\alpha)\)
\((\cos\alpha<0\land \sin\alpha<0)\Rightarrow \alpha=\pi-\arcsin(\sin\alpha)=2\pi-\arccos(\cos\alpha)\)
formule che spero di aver dedotto giuste pensando alla circonferenza trigonometrica.
Si tratta di argomenti che credo si trovino su qualunque buon testo di geometria affine, per esempio il Sernesi, Geometria 1, ne tratta alle pp. 150-159*.
Ciao!
*[size=85]Se usi questo testo, nota però che a p. 158 il calcolo della matrice \(M_{\boldsymbol{f},\boldsymbol{e}}(F)\) presenta qualche refuso nei numeri che compaiono, ma per il resto è tutto spiegato chiaramente.[/size]
cioè \(A\mathbf{x}=\mathbf{x}'-\mathbf{0}'\). Quindi se hai per esempio $\mathbf{0}'$, che devi conoscere, altrimenti non hai dati sufficienti per risolvere il tuo problema, e $\mathbf{x}'$ e $A$ è una matrice di rotazione $2\times 2$, se ne possono calcolare gli elementi utilizzando la formula che ti indica stormy qua ponendo $\mathbf{x}'-\mathbf{0}'=(x'_0,y'_0)$ e $\mathbf{x}=(x_0,y_0)$. Naturalmente da tale formula deduci quanto vale $\alpha$ con un po' di trigonometria e mi pare che si abbia
\(\cos\alpha \geq 0\Rightarrow \alpha=\arcsin(\sin\alpha)\)
\(\sin\alpha \geq 0\Rightarrow \alpha=\arccos(\cos\alpha)\)
\((\cos\alpha<0\land \sin\alpha<0)\Rightarrow \alpha=\pi-\arcsin(\sin\alpha)=2\pi-\arccos(\cos\alpha)\)
formule che spero di aver dedotto giuste pensando alla circonferenza trigonometrica.
Si tratta di argomenti che credo si trovino su qualunque buon testo di geometria affine, per esempio il Sernesi, Geometria 1, ne tratta alle pp. 150-159*.
Ciao!
*[size=85]Se usi questo testo, nota però che a p. 158 il calcolo della matrice \(M_{\boldsymbol{f},\boldsymbol{e}}(F)\) presenta qualche refuso nei numeri che compaiono, ma per il resto è tutto spiegato chiaramente.[/size]