Calcolo polinomio caratteristico
Buongiorno! Sto cercando di svolgere degli esercizi riguardanti il polinomio caratteristico data una matrice (generalmente 3x3). Il mio problema di fondo non e' il procedimento x trovare il polinomio ma come. Mi spiego meglio, ecco qua l'esercizio proposto:
$ | ( 1 , t , 1 ),( t , t , t ),( 1 , t , 1 ) | $
Allora, prendo questa matrice e cerco il determinante con (A-XI), ottenendo:
$ (1-x)( ( t-x , t ),( t , 1-x ) ) - t( ( 1-x , 1 ),( 1 , 1-x ) ) + 1( ( t , t-x ),( 1 , t ) ) $
A questo punto effettuo le varie operazioni algebriche e ottengo:
$ (1-x)[(t-x)(1-x)-t^2] -t[(1-x)(1-x)] + [t^2-(t-x)] $
Adesso mi verrebbe naturale fare le varie moltiplicazioni ma so che cosi facendo mi complicherei la vita. Qualcuno potrebbe darmi una dritta sul come trovare il polinomio arrivati a questo punto?? Ho avuto difficolta' in quasi tutti i temi da me svolti in quanto arrivo a questo punto e non so piu' dove metter mano se non facendo le moltiplicazioni e mettermi nella c***a nel passaggio dopo.
Vi ringrazio!
Raphael
$ | ( 1 , t , 1 ),( t , t , t ),( 1 , t , 1 ) | $
Allora, prendo questa matrice e cerco il determinante con (A-XI), ottenendo:
$ (1-x)( ( t-x , t ),( t , 1-x ) ) - t( ( 1-x , 1 ),( 1 , 1-x ) ) + 1( ( t , t-x ),( 1 , t ) ) $
A questo punto effettuo le varie operazioni algebriche e ottengo:
$ (1-x)[(t-x)(1-x)-t^2] -t[(1-x)(1-x)] + [t^2-(t-x)] $
Adesso mi verrebbe naturale fare le varie moltiplicazioni ma so che cosi facendo mi complicherei la vita. Qualcuno potrebbe darmi una dritta sul come trovare il polinomio arrivati a questo punto?? Ho avuto difficolta' in quasi tutti i temi da me svolti in quanto arrivo a questo punto e non so piu' dove metter mano se non facendo le moltiplicazioni e mettermi nella c***a nel passaggio dopo.
Vi ringrazio!
Raphael
Risposte
\( \displaystyle P(x)=\left|\begin{array}{lll}
1-x & t & 1\\
t & t-x & t\\
1 & t & 1-x
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll}
1-x & t & 1\\
t & t-x & t\\
x & 0 & -x
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll}
2-x & t & 1\\
2t & t-x & t\\
0 & 0 & -x
\end{array}\right|=-x\left|\begin{array}{ll}
2-x & t\\
2t & t-x
\end{array}\right|\)
\( \displaystyle -x[(2-x)(t-x)-2t^2]=-x[x^2-(2+t)x-2t^2+2t]\)
Nel primo passaggio ho sottratto dalla terza riga la prima riga, nel secondo passaggio ho addizionato alla prima colonna la terza colonna.
1-x & t & 1\\
t & t-x & t\\
1 & t & 1-x
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll}
1-x & t & 1\\
t & t-x & t\\
x & 0 & -x
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll}
2-x & t & 1\\
2t & t-x & t\\
0 & 0 & -x
\end{array}\right|=-x\left|\begin{array}{ll}
2-x & t\\
2t & t-x
\end{array}\right|\)
\( \displaystyle -x[(2-x)(t-x)-2t^2]=-x[x^2-(2+t)x-2t^2+2t]\)
Nel primo passaggio ho sottratto dalla terza riga la prima riga, nel secondo passaggio ho addizionato alla prima colonna la terza colonna.
Ti ringrazio per la risposta! La mia domanda comunque rimane in quanto te mi hai detto come hai trovato il polinomio in questo caso, ma c'e un procedimento da seguire per qualsiasi matrice? Per esempio in questo caso te hai ridotto la matrice A-XI, generalmente si fa sempre cosi? Oppure in base alla matrice ci sono procedimenti differenti??
Grazie!
Grazie!
Quello è il procedimento standard.
Ho visto solo ora la risposta! Ti ringrazio! Rinnovo il messaggio in quanto ancora non mi e' tutto limpido 
Allora, preso una matrice di questo tipo:
$ A = ( ( 2 , 0 , -1 ),( 1 , 1 , -1 ),( 0 , 1 , t ) ) $
Il testo dice: "Si stabilisca per quali valori di t la matrice e' diagonalizzabile."
In questo caso io non ho trovato nessuna riga da ridurre quindi,
$ det(A-XI) = ( ( 2-x , 0 , -1 ),( 1 , 1-x , -1 ),( 0 , 1 , t-x ) ) $
A questo punto ho: $ -1(( 2-x , -1 ),( 1 , -1 ) ) + (t-x)(( 2-x , 0 ),(1 , 1-x)) $
Facendo i calcoli ottengo:
$ -1((-2+x)+1)+(t-x)(2-x)(1-x) $
Teoricamente questo e' il polinomio caratteristico. Dovendo trovare i valori di t, prendo solo $ (t-x) $ e del resto "me ne frego" ??
Se si, allora semplicemente avrei $ x=t $ , dunque $ t != 0 $
E' giusto il procedimento??
Vi ringrazio!
Allora, preso una matrice di questo tipo:
$ A = ( ( 2 , 0 , -1 ),( 1 , 1 , -1 ),( 0 , 1 , t ) ) $
Il testo dice: "Si stabilisca per quali valori di t la matrice e' diagonalizzabile."
In questo caso io non ho trovato nessuna riga da ridurre quindi,
$ det(A-XI) = ( ( 2-x , 0 , -1 ),( 1 , 1-x , -1 ),( 0 , 1 , t-x ) ) $
A questo punto ho: $ -1(( 2-x , -1 ),( 1 , -1 ) ) + (t-x)(( 2-x , 0 ),(1 , 1-x)) $
Facendo i calcoli ottengo:
$ -1((-2+x)+1)+(t-x)(2-x)(1-x) $
Teoricamente questo e' il polinomio caratteristico. Dovendo trovare i valori di t, prendo solo $ (t-x) $ e del resto "me ne frego" ??
Se si, allora semplicemente avrei $ x=t $ , dunque $ t != 0 $
E' giusto il procedimento??
Vi ringrazio!
Ulteriore dubbio che mi e' sorto svolgendo un altra matrice: la riduzione tra righe va fatta prima che io metta dentro il $ -XI $ oppure dopo? Perche se prima riduco la matrice viene che i valori di x,y,z sono quasi tutti a zero (praticamente sempre)
grazie!
grazie!
Facendo un po di prove, sono arrivato alla conclusione che il determinante della matrice ridotta e' lo stesso del determinante della matrice iniziale! Quindi, si riduce (nel caso sia possibile e abbia una utilita') e poi gli si applica la formula del polinomio caratteristico!
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