Calcolo numerico di autovalori: metodo delle potenze

[dissonance]

Il metodo delle potenze funziona così: se $A$ è una matrice complessa $n\timesn$, diagonalizzabile, con autovalore dominante $lambda_1$ (cioè $|lambda_1|>|lambda_i|$) di molteplicità 1, risulta che la successione ricorsiva $y^((k))=Ay^((k-1))$, qualunque punto iniziale si scelga, è una cosa tipo $y^((k))=lambda_1^k[alpha_1x_1 + g^((k))]$, e $g^((k))\to0$. Quindi il quoziente di Rayleigh $(y_k^Hy_(k+1))/(y_k^Hy_k)$ converge a $lambda_1$. Non ci piove su questo.

E' anche chiaro il fatto che $y^((k))$ definita così ha un andamento esponenziale e che quindi non andremo molto lontano senza finire in overflow o in underflow. Perciò definiamo una successione normalizzata $t^((k))$: ${(y^((k))=At^((k-1))), (t^((k))=y^((k))/(||y^((k))||)) :}$, dove scegliamo una qualsiasi norma vettoriale. Ma se facciamo così, poi quale sarà la successione convergente a $lambda_1$?

[Nidhogg]

Puoi dimostrarlo con l'ipotesi che esista una base di autovettori $x_1,x_2,..,x_n$ linearmente indipendenti e in questa base puoi scrivere $bar y_0=sum_{i=1}^n alpha_i*x_i$. Tenendo presenti le definizioni di $y_k$ e di $bar y_k$, se poni $bar y_0 = y_0$ e $t_k = y_k/(||y_k||)$ ottieni...

[dissonance]

abbi pazienza non ti seguo... cosa vuoi dire, che la successione $(t^((k)))^H t^((k+1))$ converge a $lambda1$?

[Nidhogg]

Voglio dire che la successione normalizzata converge...il valore a cui converge si evince dalla dimostrazione...

[dissonance]

E vabbé ma, anche se converge, la successione normalizzata sempre una successione vettoriale è. E invece a me serve una successione scalare che mi approssimi $lambda_1$. No?

[dissonance]

Forse ci sono: semplicemente basta fare il quoziente di Rayleigh della successione normalizzata, cioè $\frac{(t^((k)))^HAt^((k))}{(t^((k)))^Ht^((k))}$. Questo converge a $lambda_1$, perché tutte le normalizzazioni che abbiamo fatto si annullano quando passiamo al quoziente. E analogamente, per calcolare l'autovettore $x_1$, basta usare la successione $t^((k))/t_j^((k))$, dove definitivamente $t_j^((k))$ è la componente di modulo massimo del vettore $t^((k))$, per ottenere l'autovettore $x_1$ normalizzato in norma del massimo. Se qualcuno ne dovesse avere voglia, può confermare o smentire?

[Nidhogg]

Secondo me devi utilizzare il fatto che puoi scrivere $y_0$ come combinazione lineare. Poi sostituire questa conoscenza all'interno di $y_k = A*t_{k-1}$ ed ottenere la convergenza di $y_k$ (come tu hai detto successione vettoriale che ti restituisce l'autovettore associato all'autovalore) . Poi puoi arrivare al fatto che $sigma_k$ sia uguale a $lambda_1+o(1)$