Calcolo matrice rappresentativa

[carolina368]

Qualcuno potrebbe aiutarmi a risolvere questo problema? Ho le idee molto confuse e non riesco ad uscirne fuori
Grazie in anticipo
Siano v1(1,0,1); v2 (0,1,-2); v3( -1,1,2) (nella realtà scritti in colonna)

A) far vedere che v1,v2,v3 formano una base di R3
Sia f: R3->R3 l'applicazione lineare che permuta i vettori vi: f(v1)=v2 , f: (v2)= v3 e f(v3)=v1
B) calcolare la matrice rappresentativa di f rispetto alla base v1,v2,v3 (in dominio e codominio)
C)calcolare la matrice rappresentativa rispetto alla base canonica di R3
D) calcolare la matrice rappresentativa di f^3 rispetto alla base canonica di R3

[Sk_Anonymous]

Ciao.

Punto A: siccome i vettori sono tre, è sufficiente verificare che essi sono linearmente indipendenti; un modo sarebbe quello di verificare la non nullità del determinante della matrice formata dai tre vettori assegnati.

Punto B: forse potrebbe essere utile leggere questa discussione.

Punto C: bisogna cercare una matrice $A in M(3 xx 3,RR)$ (dotata, quindi, di nove coefficienti) tale che $A*v_1=v_2$, $A*v_2=v_3$ e $A*v_3=v_1$.

Punto D: se con "f^3" si vuole indicare l'applicazione f composta con sè stessa tre volte, la sua matrice associata dovrebbe essere data da $A^3=A*A*A$ ($A$ è la matrice del punto precedente).

Saluti.

[carolina368]

Grazie della risposta.. solamente che mi trovo ancora impossibilitato a risolvere l'esercizio, nonostante i riferimenti ad altre discussioni, non riesco a capire come dovrei calcolare la mia matrice rappresentativa
suppongo di essere io duro di comprendonio ma mi pare che ognuno dica cose diverse saltando varie parti del procedimento, mentre io avrei bisogno di capire passo passo cosa devo fare
se sei ancora così gentile da rispondermi...

[Sk_Anonymous]

D'accordo.

Punto A:

In sostanza basta verificare l'indipendenza lineare di

$v_1=(1,0,1)$
$v_2=(0,1,-2)$
$v_3=(-1,1,2)$

Calcoliamo

$|(1,0,1),(0,1,-2),(-1,1,2)|=1*|(1,-2),(1,2)|+1*|(0,1),(-1,1)|=1*4+1*1=5!=0$

Avendo ottenuta la non nullità del determinante della matrice formata dai tre vettori assegnati, questi ultimi sono linearmente indipendenti.

Inoltre, siccome essi sono vettori di $RR^3$, e siccome tali vettori linearmente indipendenti sono proprio tre, essi formano una base di $RR^3$.

Punti C e B:

Sia $A in M(3 xx 3, RR)$ la matrice associata all'endomorfismo dell'ipotesi (rispetto alla base canonica di $RR^3$), quindi sia $A$ matrice del tipo:

$A=((a_{11},a_{12},a_{13}),(a_{21},a_{22},a_{23}),(a_{31},a_{32},a_{33}))$

Per ipotesi devono essere soddisfatte le condizioni $A*v_1=v_2$, $A*v_2=v_3$ e $A*v_3=v_1$, cioè:

$((a_{11},a_{12},a_{13}),(a_{21},a_{22},a_{23}),(a_{31},a_{32},a_{33}))*((1),(0),(1))=((0),(1),(-2))$

$((a_{11},a_{12},a_{13}),(a_{21},a_{22},a_{23}),(a_{31},a_{32},a_{33}))*((0),(1),(-2))=((-1),(1),(2))$

$((a_{11},a_{12},a_{13}),(a_{21},a_{22},a_{23}),(a_{31},a_{32},a_{33}))*((-1),(1),(2))=((1),(0),(1))$

quindi si tratterebbe di risolvere il seguente sistema lineare a nove equazioni e a nove incognite:

${(a_{11}+a_{13}=0),(a_{21}+a_{23}=1),(a_{31}+a_{33}=-2),(a_{12}-2a_{13}=-1),(a_{22}-2a_{23}=1),(a_{32}-2a_{33}=2),(-a_{11}+a_{12}+2a_{13}=1),(-a_{21}+a_{22}+2a_{23}=0),(-a_{31}+a_{32}+2a_{33}=1):}$

A te l'onere dei conti per ricavare $A$.

Una volta ricavata la matrice $A$, indicando con il simbolo $M_(B')^B$ la generica matrice del cambiamento di base dalla base $B$ alla base $B'$ (per apprendere la regola di ricavo di tale matrice, si veda questo link), la matrice che ti interessa trovare al punto B si calcola in questo modo:

$M_(B)^E*A*M_E^(B)$

dove $E$ è la base canonica di $RR^3$ e $B$ la base formata dai tre vettori $v_1,v_2,v_3$ assegnati.

Punto D:

Basta calcolare $A^3=A*A*A$ (a te i conti).

Saluti.

[carolina368]

grazie mille!

[Sk_Anonymous]

Di nulla.

Adesso è solo questione di fare un po' di conti (lunghi e noiosi, ahimè).
Buon lavoro e buono studio.

Saluti.