Calcolo matrice inversa, quale metodo usare?
La professoressa oggi ha accennato il calcolo di una matrice inversa. Ha detto che ci sono vari metodi con i sistemi, con i determinanti ecc ecc e ci ha fatto un esempio con un altro metodo, che non so se abbia un nome. In pratica data una matrice quadrata $A$ scriviamo $(A | I)$ usiamo l'eliminazione di gauss per $A$,la portiamo in forma canonica (ovvero una volta che $A$ è a scala, occorre far diventare zero tutti i coefficienti che si trovano sulle colonne dei pivots?) e quello che rimane a destra di $(A | I)$ sarebbe la nostra inversa. Questo formalmente come si può dimostrare? Io ho semplicemente pensato che siccome noi partiamo da una situazione del genere: $A * X = I$ allora $X = * IA^{-1} $ si dice così?
Grazie
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Risposte
Questo metodo mi pare si chiami algoritmo di Gauss-Jordan, o qualcosa del genere.
La dimostrazione non è proprio immediata e credo che dimostrarlo formalmente sia anche piuttosto complicato. Tuttavia puoi pensare la cosa in questo modo: ogni operazione del procedimento di eliminazione di Gauss corrisponde a moltiplicare la tua matrice a sinistra per una particolare matrice non singolare, che porta la matrice data in quella che si ottiene dopo il passo di Gauss. Un esempio che ti può chiarire le idee è quello delle matrici di permutazione delle righe, cioè matrici che hanno un solo $1$ su ogni riga e ogni colonna e tutte le altre entrate uguali a $0$ (ad esempio l'identità, oppure qualunque matrice che ottieni rimescolando gli $1$ dell'identità in modo che ce ne sia esattamente uno su ogni riga e ogni colonna). Moltiplicando una matrice qualsiasi a sinistra per una matrice di permutazione ottieni una matrice che ha le stesse righe della matrice di partenza, ma rimescolate a seconda della regola dettata dalla permutazione.
Ora, l'eliminazione di Gauss corrisponde dunque a moltiplicare la tua matrice per un prodotto, che indichiamo con $G$, di sacco di matrici che "provocano" sulla matrice di partenza i passi di Gauss. Alla fine del procedimento ottieni l'identità, e perciò la matrice $G$ è proprio l'inversa della tua matrice di partenza. Come possiamo fare a questo punto per vedere esplicitamente come è fatta $G$? La applichiamo all'identità, ovvero facciamo sull'identità tutti i passi di Gauss che abbiamo fatto sulla matrice di partenza. E questo è esattamente quello che si fa applicando i passi dell'eliminazione Gauss in parallelo alla matrice $A$ e all'identità.
Come ti avevo detto prima, dimostrare questa cosa formalmente potrebbe essere complicato, ma non troppo difficile. Spero comunque di averti dato un'idea di come funziona la cosa e del perché, magicamente, dall'altra parte spunta fuori proprio l'inversa.
La dimostrazione non è proprio immediata e credo che dimostrarlo formalmente sia anche piuttosto complicato. Tuttavia puoi pensare la cosa in questo modo: ogni operazione del procedimento di eliminazione di Gauss corrisponde a moltiplicare la tua matrice a sinistra per una particolare matrice non singolare, che porta la matrice data in quella che si ottiene dopo il passo di Gauss. Un esempio che ti può chiarire le idee è quello delle matrici di permutazione delle righe, cioè matrici che hanno un solo $1$ su ogni riga e ogni colonna e tutte le altre entrate uguali a $0$ (ad esempio l'identità, oppure qualunque matrice che ottieni rimescolando gli $1$ dell'identità in modo che ce ne sia esattamente uno su ogni riga e ogni colonna). Moltiplicando una matrice qualsiasi a sinistra per una matrice di permutazione ottieni una matrice che ha le stesse righe della matrice di partenza, ma rimescolate a seconda della regola dettata dalla permutazione.
Ora, l'eliminazione di Gauss corrisponde dunque a moltiplicare la tua matrice per un prodotto, che indichiamo con $G$, di sacco di matrici che "provocano" sulla matrice di partenza i passi di Gauss. Alla fine del procedimento ottieni l'identità, e perciò la matrice $G$ è proprio l'inversa della tua matrice di partenza. Come possiamo fare a questo punto per vedere esplicitamente come è fatta $G$? La applichiamo all'identità, ovvero facciamo sull'identità tutti i passi di Gauss che abbiamo fatto sulla matrice di partenza. E questo è esattamente quello che si fa applicando i passi dell'eliminazione Gauss in parallelo alla matrice $A$ e all'identità.
Come ti avevo detto prima, dimostrare questa cosa formalmente potrebbe essere complicato, ma non troppo difficile. Spero comunque di averti dato un'idea di come funziona la cosa e del perché, magicamente, dall'altra parte spunta fuori proprio l'inversa.
"Pappappero":
Ora, l'eliminazione di Gauss corrisponde dunque a moltiplicare la tua matrice per un prodotto, che indichiamo con $G$, di sacco di matrici che "provocano" sulla matrice di partenza i passi di Gauss. Alla fine del procedimento ottieni l'identità, e perciò la matrice $G$ è proprio l'inversa della tua matrice di partenza. Come possiamo fare a questo punto per vedere esplicitamente come è fatta $G$? La applichiamo all'identità, ovvero facciamo sull'identità tutti i passi di Gauss che abbiamo fatto sulla matrice di partenza. E questo è esattamente quello che si fa applicando i passi dell'eliminazione Gauss in parallelo alla matrice $A$ e all'identità.
sei stato un grande! grazie davvero
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