Calcolo matrice canonicamente associata

[jenky1]

Salve a tutti vorrei proporre il seguente esercizio che mi ha dato qualche problema:
" La trasformazione lineare $RR^2 rarr RR^3$ avente nucleo [tex]Ker T[/tex]{[tex](x,y,z)[/tex] $in RR^3$ [tex]/ x-2y+z=0[/tex]} e tale che [tex]T((0,1,1)=(-1,-3,0,1))[/tex] . Ricavare la matrice canonicamente associata".
Ringrazio anticipatamente tutti quelli che mi daranno una mano ciao.

[franced]

"jenky":
" La trasformazione lineare $RR^2 rarr RR^3$ avente nucleo [tex]Ker T[/tex]{[tex](x,y,z)[/tex] $in RR^3$ [tex]/ x-2y+z=0[/tex]} e tale che [tex]T((0,1,1)=(-1,-3,0,1))[/tex] . Ricavare la matrice canonicamente associata".

C'è qualcosa che non va.
L'applicazione deve partire da [tex]\mathbb{R}^3[/tex] ed arrivare in [tex]\mathbb{R}^4[/tex].

[franced]

Il sottospazio di equazione cartesiana [tex]x-2\,y+z=0[/tex]
ha come base

[tex]\left\{ \left( \begin{array}{c}
1 \\
0 \\
-1
\end{array} \right) \;;\; \left( \begin{array}{c}
2 \\
1 \\
0
\end{array} \right) \right\}[/tex] ;

quindi, poiché stiamo descrivendo il ker dell'applicazione, deve risultare
necessariamente

[tex]\left( \begin{array}{c}
1 \\
0 \\
-1
\end{array} \right) \longmapsto \left( \begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0 \\
0
\end{array} \right)[/tex]

[tex]\left( \begin{array}{c}
2 \\
1 \\
0
\end{array} \right) \longmapsto \left( \begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0 \\
0
\end{array} \right)[/tex]

inoltre sappiamo che

[tex]\left( \begin{array}{c}
0 \\
1 \\
1
\end{array} \right) \longmapsto \left( \begin{array}{c}
-1 \\
-3 \\
0 \\
1
\end{array} \right)[/tex] .

Per ottenere la matrice che rappresenta l'applicazione lineare
rispetto alle basi canoniche basta calcolare il seguente prodotto:

[tex]\left( \begin{array}{ccc}
0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & -3 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc}
1 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
-1 & 0 & 1
\end{array} \right)^{-1} =[/tex]

[tex]= \left( \begin{array}{ccc}
0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & -3 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc}
-1 & 2 & -2 \\
1 & -1 & 1 \\
-1 & 2 & -1
\end{array} \right) =[/tex]

[tex]= \left( \begin{array}{ccc}
1 & -2 & 1 \\
3 & -6 & 3 \\
0 & 0 & 0 \\
-1 & 2 & -1
\end{array} \right)[/tex]

[jenky1]

Si scusami, colpa mia, ho sbagliato a scrivere era da $RR^3 -> RR^4$.
Grazie ancora per l'aiuto, oggi mi hai risolto parecchi dubbi

[franced]

Un suggerimento.

Quando finisci un esercizio, è sempre buona regola verificare se la matrice
ottenuta soddisfa le richieste iniziali;
vediamo cosa accade nel nostro esercizio:

[tex]\left( \begin{array}{ccc}
1 & -2 & 1 \\
3 & -6 & 3 \\
0 & 0 & 0 \\
-1 & 2 & -1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
1 \\
0 \\
-1
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0 \\
0
\end{array} \right)[/tex]

[tex]\left( \begin{array}{ccc}
1 & -2 & 1 \\
3 & -6 & 3 \\
0 & 0 & 0 \\
-1 & 2 & -1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
2 \\
1 \\
0
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0 \\
0
\end{array} \right)[/tex]

[tex]\left( \begin{array}{ccc}
1 & -2 & 1 \\
3 & -6 & 3 \\
0 & 0 & 0 \\
-1 & 2 & -1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
0 \\
1 \\
1
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
-1 \\
-3 \\
0 \\
1
\end{array} \right)[/tex]

tutto ok!!

[jenky1]

Scusami posso disturbarti un secondo.
Non capisco bene da dove si ricavino le due basi {(1,0,-1);(2,1,0)}.

[franced]

Non si tratta di due basi, ma di una base del sottospazio di [tex]\mathbb{R}^3[/tex] avente
equazione cartesiana [tex]x - 2\,y + z = 0[/tex] .

Puoi ricavarti la [tex]x[/tex]:

[tex]x = 2\,y - z[/tex]

se poni [tex]y = t[/tex] e [tex]z = s[/tex] (parametri liberi) ottieni
[tex]x = 2\,t - s[/tex] e quindi possiamo scrivere:

[tex]\left( \begin{array}{c}
x \\
y \\
z
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
2\,t - s \\
t \\
s
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
2\,t \\
t \\
0
\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c}
-s \\
0 \\
s
\end{array} \right) = t \left( \begin{array}{c}
2 \\
1 \\
0
\end{array} \right) + s \left( \begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
1
\end{array} \right)[/tex]

chiaramente al posto del secondo puoi scegliere anche il suo opposto, ovvero [tex](1,0,-1)^T[/tex].

[jenky1]

"franced":Non si tratta di due basi, ma di una base del sottospazio di [tex]\mathbb{R}^3[/tex] avente
equazione cartesiana [tex]x - 2\,y + z = 0[/tex] .

Puoi ricavarti la [tex]x[/tex]:

[tex]x = 2\,y - z[/tex]

se poni [tex]y = t[/tex] e [tex]z = s[/tex] (parametri liberi) ottieni
[tex]x = 2\,t - s[/tex] e quindi possiamo scrivere:

[tex]\left( \begin{array}{c}
x \\
y \\
z
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
2\,t - s \\
t \\
s
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
2\,t \\
t \\
0
\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c}
-s \\
0 \\
s
\end{array} \right) = t \left( \begin{array}{c}
2 \\
1 \\
0
\end{array} \right) + s \left( \begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
1
\end{array} \right)[/tex]

chiaramente al posto del secondo puoi scegliere anche il suo opposto, ovvero [tex](1,0,-1)^T[/tex].

Perfetto adesso penso di avere capito .
Infatti sapevo di dover fare un passaggio simile ma non capivo bene come farlo grazie infinite.

[franced]

Prego!