Calcolo Ker e Im di una matrice
Salve a tutti, vi propongo un esempio di calcolo di Ker e Im che il prof ha fatto a lezione:
la matrice è questa:$ ( ( 1 , 2 , 3 ),( 4 , 5 , 6 ) )$ e calcolando il sistema omogeneo viene fuori che $x=z$ e $y=-2z$.
A questo punto dice che un tipico vettore del nucleo potrebbe essere $(1,-2,1)$ e che l'immagine è tutta $R^2$ (dal teorema di nullità e del rango). Beh proprio questa ultima affermazione dell'immagine che è tutta $R^2$ non l'ho capita.
Se il teorema di nullità e rango mi dice che $dim V=dim Ker T + dim Im T$ la dim del ker non è zero quindi la dimensione dell'immagine sarà la dim di V meno quella del Ker e quindi non potrà essere tutta $R^2$ oppure sbaglio?
la matrice è questa:$ ( ( 1 , 2 , 3 ),( 4 , 5 , 6 ) )$ e calcolando il sistema omogeneo viene fuori che $x=z$ e $y=-2z$.
A questo punto dice che un tipico vettore del nucleo potrebbe essere $(1,-2,1)$ e che l'immagine è tutta $R^2$ (dal teorema di nullità e del rango). Beh proprio questa ultima affermazione dell'immagine che è tutta $R^2$ non l'ho capita.
Se il teorema di nullità e rango mi dice che $dim V=dim Ker T + dim Im T$ la dim del ker non è zero quindi la dimensione dell'immagine sarà la dim di V meno quella del Ker e quindi non potrà essere tutta $R^2$ oppure sbaglio?
Risposte
i conti tornano in quanto $dimV=3$ e $dimkerf=1$
Quindi è giusto dire che la dim ImT è tutta $R^2$?
è giusto dire che $ImT=R^2$
Potresti spiegarmi perchè la dim del ker è uguale a 1? Scusami la domanda forse banale.
essendo $x=z$ e $y=-2z$,tutti i vettori del $kerT$ sono del tipo $(z,-2z,z)=z(1,-2,1)$
quindi $(1,-2,1)$ è una base del $kerT$
quindi $(1,-2,1)$ è una base del $kerT$
@FELPONE,
è moolto semplice, dalla matrice che hai si deduce che l'omomorfismo è del tipo \( \mathfrak{f}: \Bbb{R}^3 \to \Bbb{R}^2 \), e che, visto che non sono citate basi particolari deduco anche che la matrice è rispetto alla base canonica ergo, ${ (\mathfrak{f}(e_1)=(1,4)),( \mathfrak{f}(e_2)=(2,5)),( \mathfrak{f}(e_3)=(3,6)):}$, certamente[nota]da un teorema sulle applicazioni lineari[/nota] \( \operatorname{im}(\mathfrak{f})=\mathscr{L}((1,4),(2,5),(3,6))\) ma anche[nota]essendo \(\operatorname{im}(\mathfrak{f})\) un sottospazio vettoriale di \( \Bbb{R}^2 \) e quindi la sua dimensione è minore o uguale a \( 2 \), tale fatto si dimostra
[/nota] che \(\dim_\Bbb{R}(\operatorname{im}(\mathfrak{f}))=2\) quindi[nota]da un teorema sugli spazi vettoriali[/nota] \(\operatorname{im}(\mathfrak{f})=\Bbb{R}^2 \)
Saluti
"FELPONE":
Salve a tutti, vi propongo un esempio di calcolo di Ker e Im che il prof ha fatto a lezione:
la matrice è questa:$ ( ( 1 , 2 , 3 ),( 4 , 5 , 6 ) )$ e calcolando il sistema omogeneo viene fuori che $x=z$ e $y=-2z$.
A questo punto dice che un tipico vettore del nucleo potrebbe essere $(1,-2,1)$ e che l'immagine è tutta $R^2$ (dal teorema di nullità e del rango). Beh proprio questa ultima affermazione dell'immagine che è tutta $R^2$ non l'ho capita.
Se il teorema di nullità e rango mi dice che $dim V=dim Ker T + dim Im T$ la dim del ker non è zero quindi la dimensione dell'immagine sarà la dim di V meno quella del Ker e quindi non potrà essere tutta $R^2$ oppure sbaglio?
è moolto semplice, dalla matrice che hai si deduce che l'omomorfismo è del tipo \( \mathfrak{f}: \Bbb{R}^3 \to \Bbb{R}^2 \), e che, visto che non sono citate basi particolari deduco anche che la matrice è rispetto alla base canonica ergo, ${ (\mathfrak{f}(e_1)=(1,4)),( \mathfrak{f}(e_2)=(2,5)),( \mathfrak{f}(e_3)=(3,6)):}$, certamente[nota]da un teorema sulle applicazioni lineari[/nota] \( \operatorname{im}(\mathfrak{f})=\mathscr{L}((1,4),(2,5),(3,6))\) ma anche[nota]essendo \(\operatorname{im}(\mathfrak{f})\) un sottospazio vettoriale di \( \Bbb{R}^2 \) e quindi la sua dimensione è minore o uguale a \( 2 \), tale fatto si dimostra
[/nota] che \(\dim_\Bbb{R}(\operatorname{im}(\mathfrak{f}))=2\) quindi[nota]da un teorema sugli spazi vettoriali[/nota] \(\operatorname{im}(\mathfrak{f})=\Bbb{R}^2 \)Saluti
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