Calcolo intersezione di sottospazi errata

[zio_mangrovia]

E' possibile che l’intersezione dei due sottospazi di $RR^3$ $⟨ (0,2,1) , (1,1,0) ⟩$ e $⟨ (1,−1,1) , (1,1,1) ⟩$ sia:

$⟨ 1,3,1 ⟩$ così dice la soluzione.....

a me invece viene : $⟨ 1/2,1/2,-1/2 ⟩$

[Jokah]

Come hai ottenuto il risultato? (Puoi verificare che non è corretto, ad esempio valutando il prodotto misto di quello con i vettori della base del secondo sottospazio, che è -2 e non 0)

[zio_mangrovia]

"iTz_Ovah":Come hai ottenuto il risultato? (Puoi verificare che non è corretto, ad esempio valutando il prodotto misto di quello con i vettori della base del secondo sottospazio, che è -2 e non 0)

$((0,1,-1,-1),(2,1,1,-1),(1,0,-1,-1))$

dalla quale ho:

$x_1=1/2x_4$
$x_2=1/2x_4$
$x_3=-1/2x_4$

assegno un valore arbitrario a $x_4$ e trovo l'intersezione, non è corretto?

[Jokah]

Hai misinterpretato: quanto hai scritto è corretto, ma adesso devi dare un valore a $x_4$ e ricavare di conseguenza $x_1, x_2, x_3$. Per esempio, metti $x_4 = 2$, allora $x_1 = x_2 = 1, x_3 = -1$.

Si ha che:

$1(0,2,1)+1(1,1,0) = -1(1,-1,1)+2(1,1,1)$

Svolgendo:

$(1,3,1) = (1,3,1)$

Dove a sinistra dell'uguale hai una combinazione lineare degli elementi della base $⟨(0,2,1),(1,1,0)⟩$ mentre a destra hai una combinazione lineare di $⟨(1,−1,1),(1,1,1)⟩$. Poiché i due sono uguali, certamente appartengono all'intersezione, che è data ad esempio da $⟨(1,3,1)⟩$

In sostanza i valori che hai trovato ti danno i coefficienti della combinazione lineare e non direttamente l'intersezione, che rimane da calcolare scrivendo la combinazione in sé.

[zio_mangrovia]

chiarissimo, grazie