Calcolo indiciale : rotore di un rotore di un vettore
In allegato la foto e la risoluzione del mio dilemma. Ho incominciato a studiare da poco fluidodinamica e sto alle prime anche con il calcolo indiciale e sinceramente non riesco proprio a comprendere cosa succeda nel penultimo passaggio ovvero come lavora con tutti quei delta di kronecker. Mi hanno dato anche il seguente suggerimento ovvero fissare due lettere e contrarre, ma continuo a sbattere la testa non riuscendo a trovare il bandolo della matassa. Grazie mille .
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Risposte
Si tratta di una identità del calcolo vettoriale che coinvolge il prodotto vettoriale click da cui ricavi (trattando \(\nabla\) come un vettore formale) che
\[
\nabla \times(\nabla \times w) = \nabla(\nabla \cdot w) - (\nabla \cdot\nabla)w
\]
\[
\nabla \times(\nabla \times w) = \nabla(\nabla \cdot w) - (\nabla \cdot\nabla)w
\]
@killing_buddha: eh però è un buon esercizio farlo con gli indici. Una volta ho seguito un corso di fisica teorica, e il professore diceva che bisogna fare "gamma-gymnastics", si riferiva alle bestiali manipolazioni di indici (e comparivano anche le "matrici gamma"). Parafrasando questo gergo, direi che l'esercizio dell'OP è una buona "delta-gymnastics", dove "delta" è quella di Kronecker.
Ho detto un sacco di chiacchiere ma non ho fatto nessun conto
Ho detto un sacco di chiacchiere ma non ho fatto nessun conto
Una volta ho seguito un corso di fisica teorica, e il professore diceva che bisogna fare "gamma-gymnastics"
Stai davvero ad ascoltare i fisici?
"killing_buddha":Una volta ho seguito un corso di fisica teorica, e il professore diceva che bisogna fare "gamma-gymnastics"
Stai davvero ad ascoltare i fisici?
Lo dicono anche i geometri differenziali...
Quindi nessuno mi sa rispondere in che modo bisogna utilizzare il calcolo indiciale in quella circostanza? piu che altro non riesco a capire come diavolo cambia gli indici a denominatore e quale sia il criterio .
Io penso ci sia un errore nella risoluzione nel calcolo indiciale. In allegato come l ho risolta io
Io penso ci sia un errore nella risoluzione nel calcolo indiciale. In allegato come l ho risolta io
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"ciampax":
[quote="killing_buddha"]Una volta ho seguito un corso di fisica teorica, e il professore diceva che bisogna fare "gamma-gymnastics"
Stai davvero ad ascoltare i fisici?
Lo dicono anche i geometri differenziali...
[/quote]Stai davvero ad ascoltare i geometri differenziali?
Tutto sta a dimostrare la relazione tra i simboli di Levi-Civita e di Kronecker, comunque: un modo (anzi, due) molto elegante è descritto qui https://math.stackexchange.com/question ... oup-theory
Ho modificato la risposta di prima: secondo voi analiticamente ci può stare oppure trascuro qualcosa di importante?
Killing buddha Io la dimostrazione di ciò che mi hai detto io già ce l ho non penso sia quello il problema sinceramente
Dunque, se ho capito bene quello che ti manca è il passaggio dalla riga con i delta di Kronecher a quella successiva. Allora, sostanzialmente hai due termini
$$\delta_{ip}\delta_{jq}\cdot\frac{\partial}{\partial x_j}\frac{\partial}{\partial x_p} u_q\qquad \delta_{iq}\delta_{jp}\cdot\frac{\partial}{\partial x_j}\frac{\partial}{\partial x_p} u_q$$
Quando si opera con questi operatori si procede così: si guarda quali sono gli indici di sommazione, che possono variare, e si fa in modo che combacino con quelli "liberi". Nel primo termine $j$ è accoppiato a $q$, per cui si deve mantenere solo questo termine, mentre $p$ è accoppiato ad $i$. Pertanto hai
$$\delta_{ip}\delta_{jq}\cdot\frac{\partial}{\partial x_j}\frac{\partial}{\partial x_p} u_q\Rightarrow \frac{\partial}{\partial x_q}\frac{\partial}{\partial x_i} u_q=\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\frac{\partial}{\partial x_q} u_q\right)=\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\nabla\bullet u\right)$$
perché nella parentesi hai la divergenza.
Nel secondo caso gli accoppiamenti sono effettuati tra i due indici di sommazione, per cui hai
$$\delta_{iq}\delta_{jp}\cdot\frac{\partial}{\partial x_j}\frac{\partial}{\partial x_p} u_q\Rightarrow \frac{\partial}{\partial x_j}\frac{\partial}{\partial x_j}u_i$$
perché gli indici $j$ e $q$ devono essere uguali e l'indice $q$ deve trasformarsi in $i$ (e si ottiene il termine $\nabla\cdot\nabla$)
Spero sia chiaro
$$\delta_{ip}\delta_{jq}\cdot\frac{\partial}{\partial x_j}\frac{\partial}{\partial x_p} u_q\qquad \delta_{iq}\delta_{jp}\cdot\frac{\partial}{\partial x_j}\frac{\partial}{\partial x_p} u_q$$
Quando si opera con questi operatori si procede così: si guarda quali sono gli indici di sommazione, che possono variare, e si fa in modo che combacino con quelli "liberi". Nel primo termine $j$ è accoppiato a $q$, per cui si deve mantenere solo questo termine, mentre $p$ è accoppiato ad $i$. Pertanto hai
$$\delta_{ip}\delta_{jq}\cdot\frac{\partial}{\partial x_j}\frac{\partial}{\partial x_p} u_q\Rightarrow \frac{\partial}{\partial x_q}\frac{\partial}{\partial x_i} u_q=\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\frac{\partial}{\partial x_q} u_q\right)=\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\nabla\bullet u\right)$$
perché nella parentesi hai la divergenza.
Nel secondo caso gli accoppiamenti sono effettuati tra i due indici di sommazione, per cui hai
$$\delta_{iq}\delta_{jp}\cdot\frac{\partial}{\partial x_j}\frac{\partial}{\partial x_p} u_q\Rightarrow \frac{\partial}{\partial x_j}\frac{\partial}{\partial x_j}u_i$$
perché gli indici $j$ e $q$ devono essere uguali e l'indice $q$ deve trasformarsi in $i$ (e si ottiene il termine $\nabla\cdot\nabla$)
Spero sia chiaro
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