Calcolo $H_{dR}^1(S^1)$
Salve, ho due dubbi sul calcolo del primo modulo di coomologia di de Rham di $S^1$.
1) Il mio professore parte dalla seguente osservazione. Visto che \(\pi\colon \theta\in \mathbb R\mapsto (\cos\theta,\sin \theta)\) è una sommersione, \(\pi^\ast\colon \Omega^1(S^1)\to \Omega(\mathbb R)\) è un monomorfismo, dunque "possiamo identificare le $1$-forme sul cerchio con le $1$-forme su $\mathbb R$ che sono $2\pi$-periodiche".
Quest'ultima osservazione segue dal fatto che ogni applicazione \(S^1\to X\) si può identificare ad una funzione $2\pi$-periodica \(\mathbb R\to X\) (cfr https://math.stackexchange.com/question ... c-function)?
2) Sfruttando quanto al punto 1), si fa vedere che per ogni $1$-forma $\omega=\frac{\partial f}{\partial x}dx\in \Omega^1(\mathbb R)$ esistono una funzione $2\pi$-periodica \(g\colon \mathbb R\to \mathbb R\) e una costante reale $c$ tale che:
\[
f(x)=g(x)-\frac{c}{2\pi}x
\]
A questo punto, sfruttando l'identificazione, trova $d\omega=dg+\frac{c}{2\pi}d\theta$, dove $g\in C^{\infty}(S^1)$ e $d\theta$ è una forma di volume di $S^1$.
Non riesco a spiegarmi da dove esca fuori che $d\theta$ è una forma di volume (se è rimasto coerente con le notazioni, $d\theta$ è la restrizione di $\frac{x^1 dx^2-x^2dx^1}{(x^1)^2+(x^2)^2}\in \Omega^1(\mathbb R^2\setminus\{0\})$ a $S^1$)
Grazie in anticipo.
1) Il mio professore parte dalla seguente osservazione. Visto che \(\pi\colon \theta\in \mathbb R\mapsto (\cos\theta,\sin \theta)\) è una sommersione, \(\pi^\ast\colon \Omega^1(S^1)\to \Omega(\mathbb R)\) è un monomorfismo, dunque "possiamo identificare le $1$-forme sul cerchio con le $1$-forme su $\mathbb R$ che sono $2\pi$-periodiche".
Quest'ultima osservazione segue dal fatto che ogni applicazione \(S^1\to X\) si può identificare ad una funzione $2\pi$-periodica \(\mathbb R\to X\) (cfr https://math.stackexchange.com/question ... c-function)?
2) Sfruttando quanto al punto 1), si fa vedere che per ogni $1$-forma $\omega=\frac{\partial f}{\partial x}dx\in \Omega^1(\mathbb R)$ esistono una funzione $2\pi$-periodica \(g\colon \mathbb R\to \mathbb R\) e una costante reale $c$ tale che:
\[
f(x)=g(x)-\frac{c}{2\pi}x
\]
A questo punto, sfruttando l'identificazione, trova $d\omega=dg+\frac{c}{2\pi}d\theta$, dove $g\in C^{\infty}(S^1)$ e $d\theta$ è una forma di volume di $S^1$.
Non riesco a spiegarmi da dove esca fuori che $d\theta$ è una forma di volume (se è rimasto coerente con le notazioni, $d\theta$ è la restrizione di $\frac{x^1 dx^2-x^2dx^1}{(x^1)^2+(x^2)^2}\in \Omega^1(\mathbb R^2\setminus\{0\})$ a $S^1$)
Grazie in anticipo.
Risposte
1. \(S^1 \cong \mathbb R / \mathbb Z\) (o \(2\pi\mathbb Z\)) come varietà.
2. E' una forma di volume perché soddisfa le proprietà che ne definiscono una, no? Tra l'altro, \(\int_0^{2\pi}d\theta = 2\pi\) che è esattamente il volume 1-dimensionale di \(S^1\)...
2. E' una forma di volume perché soddisfa le proprietà che ne definiscono una, no? Tra l'altro, \(\int_0^{2\pi}d\theta = 2\pi\) che è esattamente il volume 1-dimensionale di \(S^1\)...
Grazie per la risposta.
1. ok.
2. Il dubbio era capire perché $\pi^\ast$ mappasse $d\theta$ in $dx$ ma facendo due conti ho risolto:
\[
\pi^\ast d\theta=\frac{\cos x d\sin x-\sin x d\cos x}{\cos^2x+\sin^2x}=dx
\]
1. ok.
2. Il dubbio era capire perché $\pi^\ast$ mappasse $d\theta$ in $dx$ ma facendo due conti ho risolto:
\[
\pi^\ast d\theta=\frac{\cos x d\sin x-\sin x d\cos x}{\cos^2x+\sin^2x}=dx
\]
Magari chiamala \(p\) o \(\varpi\); se la chiami \(\pi\) e poi appare un \(2\pi\) altrove fai piangere Gesù 
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