Calcolo dimensione e base dell'intersezione di due sottospazi
Salve è la prima volta che scrivo su questo sito quindi non sono molto pratico. 
Comunque se è possibile vorrei avere dei chiarimenti per quanto riguarda esercizi riguardanti i spazi vettoriali.
Per esempio determinare la base e la dimensione dell'unione di due sottospazi vettoriali.
Per esempio:
Non si legge ma c'è scritto di U(intersecato) W
Comunque leggendo un po su questo sito ho notato che bisognava calcolare il rango e quindi ho provato a costruirmi la matrice del primo sottospazio:
\begin{pmatrix}
2 & -1 & -1 &0 \\
0& 0& 1& -1\\
0 & -2 & 1 &1
\end{pmatrix}
Rango=2
Invece per il secondo sottospazio non so che devo fare :/
Cioè mi sono sempre costruito la sua matrice:
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 &0 \\
2& 0& 0& 1\\
1 & 1 & 1 &1
\end{pmatrix}
Ma non so come procedere.
Poi ho notato che bisogna trasformare sottospazi dalla formula vettoriale a quella parametrica.. Potrebbe spiegarmi come effettuare questi passaggi??
Grazie per vostra disponibilità.
PS: Ho notato che anche altri utenti hanno esposto il mio stesso problema ma purtroppo non ci ho capito molto..
Comunque se è possibile vorrei avere dei chiarimenti per quanto riguarda esercizi riguardanti i spazi vettoriali.
Per esempio determinare la base e la dimensione dell'unione di due sottospazi vettoriali.
Per esempio:
Non si legge ma c'è scritto di U(intersecato) W
Comunque leggendo un po su questo sito ho notato che bisognava calcolare il rango e quindi ho provato a costruirmi la matrice del primo sottospazio:
\begin{pmatrix}
2 & -1 & -1 &0 \\
0& 0& 1& -1\\
0 & -2 & 1 &1
\end{pmatrix}
Rango=2
Invece per il secondo sottospazio non so che devo fare :/
Cioè mi sono sempre costruito la sua matrice:
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 &0 \\
2& 0& 0& 1\\
1 & 1 & 1 &1
\end{pmatrix}
Ma non so come procedere.
Poi ho notato che bisogna trasformare sottospazi dalla formula vettoriale a quella parametrica.. Potrebbe spiegarmi come effettuare questi passaggi??
Grazie per vostra disponibilità.
PS: Ho notato che anche altri utenti hanno esposto il mio stesso problema ma purtroppo non ci ho capito molto..
Risposte
Il rango serve per stabilire quanti ( e quali) vettori, tra quelli dati, risultano lin.ind. e concorrono quindi a formare una base del sottospazio che si sta considerando. Nel tuo caso le due matrici, l'una formata con i vettori di U e l'altra con i vettori di W, hanno entrambe rango 3 ( verifica bene !) e quindi i 3 vettori di ognuna sono tutti necessari per generare i sottospazi U e W. Per determinare quanto richiesto devi considerare le matrici :
\(\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&-1&-1&0\\0&-2&1&1\\0&0&1&-1\\x&y&z&t\end{pmatrix} \)
\(\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\2&0&0&1\\0&1&1&0\\x&y&z&t\end{pmatrix} \)
Riducendo a scalini sia A che B, otteniamo le matrici :
\(\displaystyle A'=\begin{pmatrix}2&-1&-1&0\\0&-4&2&2\\0&0&-8&8\\0&0&0&64x+64y+64z+64t\end{pmatrix} \)
\(\displaystyle B'=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&-2&-2&1\\0&0&0&1\\0&0&0&-2y+2z\end{pmatrix} \)
A questo punto le equazioni cartesiane di U e W sono rappresentate dai termini non nulli delle ultime righe di A' e B' posti uguali a zero. Pertanto :
$x+y+z+t=0$-> equazione cartesiana di U
$y-z=0$-> equazione cartesiana di W
Le equazioni di $U\cap W $ sono allora date dal sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}x+y+z+t=0\\y=z\end{cases} \)
In tale sistema due variabili ( ad es. z e t) sono indipendenti e le altre due (x e y) sono dipendenti. Questo significa che la dimensione di $U\capW$ è due e dunque servono 2 vettori ind. per generare il relativo sottospazio. Questi due possono essere :
$(-2,1,1,0)^t,(-1,0,0,1)^t$
ed essi rappresentano una base di $U\cap W $
\(\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&-1&-1&0\\0&-2&1&1\\0&0&1&-1\\x&y&z&t\end{pmatrix} \)
\(\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\2&0&0&1\\0&1&1&0\\x&y&z&t\end{pmatrix} \)
Riducendo a scalini sia A che B, otteniamo le matrici :
\(\displaystyle A'=\begin{pmatrix}2&-1&-1&0\\0&-4&2&2\\0&0&-8&8\\0&0&0&64x+64y+64z+64t\end{pmatrix} \)
\(\displaystyle B'=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&-2&-2&1\\0&0&0&1\\0&0&0&-2y+2z\end{pmatrix} \)
A questo punto le equazioni cartesiane di U e W sono rappresentate dai termini non nulli delle ultime righe di A' e B' posti uguali a zero. Pertanto :
$x+y+z+t=0$-> equazione cartesiana di U
$y-z=0$-> equazione cartesiana di W
Le equazioni di $U\cap W $ sono allora date dal sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}x+y+z+t=0\\y=z\end{cases} \)
In tale sistema due variabili ( ad es. z e t) sono indipendenti e le altre due (x e y) sono dipendenti. Questo significa che la dimensione di $U\capW$ è due e dunque servono 2 vettori ind. per generare il relativo sottospazio. Questi due possono essere :
$(-2,1,1,0)^t,(-1,0,0,1)^t$
ed essi rappresentano una base di $U\cap W $
sotto il consiglio dei moderatori, riposto il mio intervento!
@dariovita,
non capisco bene cosa vuoi e cosa hai per ipotesi, mi affido più che altro all'immagine da te postata
.. e moolto semplicemente si vede che la \( \dim_\Bbb{R}(U)=\dim_\Bbb{R}(W)=3 \), ergo la base è formata rispettivamente dai loro stessi generatori.. per conoscere il sottospazio \( U \cap W \) vi sono diversi metodi/approcci.. ad esempio puoi valutare il sottospazio \( U + W \) e dalla "Relazione di Grassman" dedurre la dimensione del sottospazio intersezione etc etc.. oppure, come penso sia meglio, espliciti le cartesiane dei due sottospazi e consideri un generico vettore \( (x,y,z,t) \in U \cap W \), questo avrà come condizione di appartenenza un sistema lineare di equazioni e valutare l'entità degli elementi del sottospazio intersezione diventa semplicissimo come anche la sua dimensione ed una sua base! A te il lavoro dei calcoli.. 
Saluti
p.s.= se ti sfugge come fare nel calcolo alcune cose.. chiedi pure, io ed altri utenti vedremo di aiutarti!
@dariovita,
non capisco bene cosa vuoi e cosa hai per ipotesi, mi affido più che altro all'immagine da te postata
.. e moolto semplicemente si vede che la \( \dim_\Bbb{R}(U)=\dim_\Bbb{R}(W)=3 \), ergo la base è formata rispettivamente dai loro stessi generatori.. per conoscere il sottospazio \( U \cap W \) vi sono diversi metodi/approcci.. ad esempio puoi valutare il sottospazio \( U + W \) e dalla "Relazione di Grassman" dedurre la dimensione del sottospazio intersezione etc etc.. oppure, come penso sia meglio, espliciti le cartesiane dei due sottospazi e consideri un generico vettore \( (x,y,z,t) \in U \cap W \), questo avrà come condizione di appartenenza un sistema lineare di equazioni e valutare l'entità degli elementi del sottospazio intersezione diventa semplicissimo come anche la sua dimensione ed una sua base! A te il lavoro dei calcoli.. Saluti
p.s.= se ti sfugge come fare nel calcolo alcune cose.. chiedi pure, io ed altri utenti vedremo di aiutarti!
Potresti spiegarmi i passaggi che hai fatto per ridurre la matrice a scalini? perchè trovo difficoltà nel considerare i coefficienti x,y,z,t.. cioè fino ad ora l'ho ho ridotto la matrice sempre ed esclusivamente con numeri interi.
Grazie
Grazie
@darivoita,
se hai fatto i determinanti puoi anche non ridurla a scalini.. ovvero procedere come si è fatto in moolte altre discussioni simili per il calcolo delle cartesiane.. (CLIC-seconda risposta di minomic )[nota]personalmente preferisco procedere in questo modo, magari è più pesante ma giammai sbaglio nel procedimento (se hai fatto i sottospazi affini noterai che è lo stesso modo di procedere )[/nota]
Saluti
P.S.= Per comodità di visualizzazione, se hai dei vettori di \( \bf{K}^n \), ove \( \bf{K} \) è campo rispetto ad \( +_\bf{K}\) e \( \cdot_\bf{K} \), di solito questi si mettono in colonna quando si vuole valutare la loro lineare indipendenza, mentre si mettono in riga se occorre sapere quali sono generatori di un sottospazio.. nel calcolo delle cartesiane, una volta trovati i generatori, si mettono in colonna con in più una colonna di sole variabili (non dico che messe diversamente si sbaglia, ma personalmente procedo in questo modo in quanto ritorna essere più utile)[nota]mettere in colonna o in riga, almeno nei miei studi, è sempre conseguenza diretta di qualche teorema o qualche definizione[/nota]
"dariovita":
Potresti spiegarmi i passaggi che hai fatto per ridurre la matrice a scalini? perchè trovo difficoltà nel considerare i coefficienti x,y,z,t.. cioè fino ad ora l'ho ho ridotto la matrice sempre ed esclusivamente con numeri interi.
Grazie
se hai fatto i determinanti puoi anche non ridurla a scalini.. ovvero procedere come si è fatto in moolte altre discussioni simili per il calcolo delle cartesiane.. (CLIC-seconda risposta di minomic
)[nota]personalmente preferisco procedere in questo modo, magari è più pesante ma giammai sbaglio nel procedimento (se hai fatto i sottospazi affini noterai che è lo stesso modo di procedere )[/nota]Saluti
P.S.= Per comodità di visualizzazione, se hai dei vettori di \( \bf{K}^n \), ove \( \bf{K} \) è campo rispetto ad \( +_\bf{K}\) e \( \cdot_\bf{K} \), di solito questi si mettono in colonna quando si vuole valutare la loro lineare indipendenza, mentre si mettono in riga se occorre sapere quali sono generatori di un sottospazio.. nel calcolo delle cartesiane, una volta trovati i generatori, si mettono in colonna con in più una colonna di sole variabili (non dico che messe diversamente si sbaglia, ma personalmente procedo in questo modo in quanto ritorna essere più utile)[nota]mettere in colonna o in riga, almeno nei miei studi, è sempre conseguenza diretta di qualche teorema o qualche definizione[/nota]
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