Calcolo dim(alfa^-1(beta^-1(S))) e dim(beta(alfa(L)))

[lisa93ro]

Salve a tutti!! frequento il primo anno di ingegneria gestionale e mi sto preparando per dare a breve l'esame di algebra lineare quando poi mi sono imbattutta in questo esercizio:
siano ALFA e BETA le trasformazioni lineari di cui la prima da V3(R) --> V4(R) e la seconda da V4(R) --> V4(R) rappresentate dalle seguenti matrici:

ALFA = \begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} e BETA = \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \end{matrix}
calcolate dim(ALFA^-1(BETA^-1(S))) e dim(BETA(ALFA(L))) ove S è l'iperpiano di V4(R) di equazione x1+x2=0 e L il sottospazio affine L=(0,0,1)+L(1,-1,0).

la prima dimensione mi viene 2 mentre la seconda non so proprio come fare .
Per trovare la prima dimensione ho messo l'iperpiano in parametrica cioè mi vengono fuori 3 vettori:
(-1,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1).
ho trovato sul libro che la dim(ALFA^-1(BETA^-1(S))) = null(BETA*ALFA) + dim(S [tex]\cap[/tex] Im(BETA*ALFA))
BETA*ALFA = \begin{matrix} 3 & 1 & 4 \\ 1 & -2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix}
dove la nullità mi viene pari a 1 e l'intersezione 1...quindi il risultato finale è 2
è corretto?

per la seconda dimensione io dovrei moltiplicare (BETA*ALFA)*(L) però non sono sicura se devo moltiplicare tutta la mia matrice per L compreso il punto P di traslazione oppure no...potete darmi una mano???
grazie!!!!

[lisa93ro]

UP!!!...vi prego aiutatemi!! è molto URGENTE!
GRAZIE!!