Calcolo di una superficie
ciao a tutti
ho un esercizio che mi chiede di calcolare la superficie della seguente figura
[tex]S: z=y, y \ge 0,
1 \leq x^{2}+y^{2}\leq 4[/tex]
se non ho capito male la figura dovrebbe essere una sorta di semi-cilindro cavo che però è tagliato a 45 gradi in diagonale
purtroppo non sono stato in grado di farne una figura tridimensionale decente da postare, l'ho proiettata sugli assi come vedete qui di seguito
per calcolare la superficie totale l'ho divisa in 4 parti:
la base, le due pareti curve e la parte inclinata superiore
non ho avuto problemi eccetto per la parte superiore
ovviamente ho calcolato tutto usando le coordinate cilindriche.
per quanto riguarda quella parte però noto che ho il raggio che varia da 1 a 2
l'angolo varia da $0$ a $2 pi$ e la coordinata $z$ varia da $0$ a $\rho sin \varphi$
ma avendo una variazione di tutte e tre le coordinare mi trovo un integrale di volume e non di superficie
spero di essere riuscito a spiegare cosa intendo, data l'ora non sono più sveglissimo
cosa sbaglio nel mo ragionamento
come faccio ad avere una variazione di tutte e tre le variabili che non mi dia un volume?
grazie mille a tutti
ho un esercizio che mi chiede di calcolare la superficie della seguente figura
[tex]S: z=y, y \ge 0,
1 \leq x^{2}+y^{2}\leq 4[/tex]
se non ho capito male la figura dovrebbe essere una sorta di semi-cilindro cavo che però è tagliato a 45 gradi in diagonale
purtroppo non sono stato in grado di farne una figura tridimensionale decente da postare, l'ho proiettata sugli assi come vedete qui di seguito
per calcolare la superficie totale l'ho divisa in 4 parti:
la base, le due pareti curve e la parte inclinata superiore
non ho avuto problemi eccetto per la parte superiore
ovviamente ho calcolato tutto usando le coordinate cilindriche.
per quanto riguarda quella parte però noto che ho il raggio che varia da 1 a 2
l'angolo varia da $0$ a $2 pi$ e la coordinata $z$ varia da $0$ a $\rho sin \varphi$
ma avendo una variazione di tutte e tre le coordinare mi trovo un integrale di volume e non di superficie
spero di essere riuscito a spiegare cosa intendo, data l'ora non sono più sveglissimo
cosa sbaglio nel mo ragionamento
come faccio ad avere una variazione di tutte e tre le variabili che non mi dia un volume?
grazie mille a tutti
Risposte
Non riesco a seguire i ragionamenti analitici, dunque guardo le figure.
Allora osservando la seconda figura la superficie curva sembra metà superficie laterale di un cono di altezza 2, raggio di base 2, e di conseguenza apotema $2sqrt2$, per trovare la superficie laterale del cono $S_l=pi*r*a$, poi basta fare la metà.
Dal primo disegno invece sembra la superficie di un tronco di cono, anche questa si può calcolare senza scomodare gli integrali.
Spero di non aver sbagliato tutto, ho conoscenze matematiche limitate.
Allora osservando la seconda figura la superficie curva sembra metà superficie laterale di un cono di altezza 2, raggio di base 2, e di conseguenza apotema $2sqrt2$, per trovare la superficie laterale del cono $S_l=pi*r*a$, poi basta fare la metà.
Dal primo disegno invece sembra la superficie di un tronco di cono, anche questa si può calcolare senza scomodare gli integrali.
Spero di non aver sbagliato tutto, ho conoscenze matematiche limitate.
Ho sbagliato a postare l'immagine, questa è quella corretta
Provo anche a spiegarmi meglio, ieri notte ero un po' stanco
Suddivido la superficie totale in 4 parti:
$S_1$ La base
$S_2$ La superficie laterale interna curva
$S_3$ La superficie laterale esterna curva
$S_4$ La superficie superiore
Calcolo $S_1$
[tex]S_{1} = \int_{1}^{2}\int_{0}^{\pi}\rho d\rho d\varphi = \int_{1}^{2}\rho d\rho\int_{0}^{\pi} d\varphi = \pi \left( \frac{\rho^{2}}{2}\right)_{1}^{2} = \frac{3}{2}\pi[/tex]
Calcolo $S_2$
[tex]S_{2} = \int_{0}^{\rho \sin \varphi} \int_{0}^{\pi} \rho dz d\varphi[/tex]
ma in questo caso $rho = 1$ quindi
[tex]S_{2} = \int_{0}^{\sin \varphi} \int_{0}^{\pi} dz d\varphi =-\int_{0}^{\pi} \sin\varphi d\varphi = 2[/tex]
Calcolo $S_3$
Stesso ragionamento fatto per $S_2$ ma con $rho = 2$ quindi
[tex]S_{3} = \int_{0}^{2\sin \varphi} \int_{0}^{\pi} 2 dz d\varphi =-4\int_{0}^{\pi} \sin\varphi d\varphi = 8[/tex]
il problema mi nasce con $S_4$
perchè ho:
$1\leq rho \leq 2$
$0\leq varphi \leq pi$
$0\leq z \leq rho sin varphi$
quindi l'integrale mi verrebbe
[tex]S_{4}=\int_{0}^{1} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{\rho \sin\varphi}\rho d\rho d\varphi dz[/tex]
ma questo è un integrale di volume e non di superficie, come posso determinare una superficie se cambiano tutte e tre le componenti?
Provo anche a spiegarmi meglio, ieri notte ero un po' stanco
Suddivido la superficie totale in 4 parti:
$S_1$ La base
$S_2$ La superficie laterale interna curva
$S_3$ La superficie laterale esterna curva
$S_4$ La superficie superiore
Calcolo $S_1$
[tex]S_{1} = \int_{1}^{2}\int_{0}^{\pi}\rho d\rho d\varphi = \int_{1}^{2}\rho d\rho\int_{0}^{\pi} d\varphi = \pi \left( \frac{\rho^{2}}{2}\right)_{1}^{2} = \frac{3}{2}\pi[/tex]
Calcolo $S_2$
[tex]S_{2} = \int_{0}^{\rho \sin \varphi} \int_{0}^{\pi} \rho dz d\varphi[/tex]
ma in questo caso $rho = 1$ quindi
[tex]S_{2} = \int_{0}^{\sin \varphi} \int_{0}^{\pi} dz d\varphi =-\int_{0}^{\pi} \sin\varphi d\varphi = 2[/tex]
Calcolo $S_3$
Stesso ragionamento fatto per $S_2$ ma con $rho = 2$ quindi
[tex]S_{3} = \int_{0}^{2\sin \varphi} \int_{0}^{\pi} 2 dz d\varphi =-4\int_{0}^{\pi} \sin\varphi d\varphi = 8[/tex]
il problema mi nasce con $S_4$
perchè ho:
$1\leq rho \leq 2$
$0\leq varphi \leq pi$
$0\leq z \leq rho sin varphi$
quindi l'integrale mi verrebbe
[tex]S_{4}=\int_{0}^{1} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{\rho \sin\varphi}\rho d\rho d\varphi dz[/tex]
ma questo è un integrale di volume e non di superficie, come posso determinare una superficie se cambiano tutte e tre le componenti?
A livello molto intuitivo, $S4$ sarà $\sqrt2 S1$.
Ti trovi ?
La proiezione su $xy$ di $S4$ è $S1$, che è inclinata di 45°, quindi il loro rapporto è $\sqrt2$.
Ti trovi ?
La proiezione su $xy$ di $S4$ è $S1$, che è inclinata di 45°, quindi il loro rapporto è $\sqrt2$.
grazie mille
in effetti non ci avevo pensato, ma da un punto di vista più rigoroso, non saprei comunque come farlo con gli integrali
in effetti non ci avevo pensato, ma da un punto di vista più rigoroso, non saprei comunque come farlo con gli integrali
In modo più rigoroso (che poi è quello che si capisce si meno e si dimentica prima),
si deve trovare la normale al piano che nel nostro caso è $\vec n = \vecj/\sqrt2-\veck/\sqrt2$, quindi fai l'integrale sulla proiezione della superficie sul piano xy, mettendo come jacobiano $|1/(\vecn \cdot \veck)|$
Da noi diventa $\int_{-2}^{2}\int_{0}^{\sqrt(4-x^2)} \sqrt2 \ dy\ dx $
Io sono stato molto succinto, dovresti vedere un testo per la spiegazione completa.
si deve trovare la normale al piano che nel nostro caso è $\vec n = \vecj/\sqrt2-\veck/\sqrt2$, quindi fai l'integrale sulla proiezione della superficie sul piano xy, mettendo come jacobiano $|1/(\vecn \cdot \veck)|$
Da noi diventa $\int_{-2}^{2}\int_{0}^{\sqrt(4-x^2)} \sqrt2 \ dy\ dx $
Io sono stato molto succinto, dovresti vedere un testo per la spiegazione completa.
devo determinare la normale ad piano su cui giace la superficie inclinata?
la normale se non erro dovrebbe essere
[tex]\overrightarrow{n} = \left| \frac{df}{du} \times \frac{df}{dv} \right|[/tex]
ma di nuovo ho il problema che qui ho tre parametri che cambiano e non due
Nel calcolo delle altre superfici non usato però alcuna normale, sono quindi sbagliati?
la normale se non erro dovrebbe essere
[tex]\overrightarrow{n} = \left| \frac{df}{du} \times \frac{df}{dv} \right|[/tex]
ma di nuovo ho il problema che qui ho tre parametri che cambiano e non due
Nel calcolo delle altre superfici non usato però alcuna normale, sono quindi sbagliati?
quali altre superfici ? le pareti laterali ?
In quel caso non puoi applicare questo metodo perchè sono superfici verticali.
con le pareti puoi prendere come piani proiettivi xz o yz, oppure integrare su una curva, che sarebbe la curva che vedi dall'alto.
In quel caso non puoi applicare questo metodo perchè sono superfici verticali.
con le pareti puoi prendere come piani proiettivi xz o yz, oppure integrare su una curva, che sarebbe la curva che vedi dall'alto.
si intendevo le pareti verticali e la base
quindi, se ho capito bene
se sono superfici già verticali o orizzontali allora non mi serve il prodotto vettoriale delle derivate parziali
nel caso in cui sia una superficie obliqua come quella superiore invece uso anche il prodotto delle derivate parziali
correggimi se sbaglio
ragionando in coordinate cilindriche avrei la superficie definita come
[tex]\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \rho \cos\varphi \\ \rho \sin\varphi \\ \rho \sin\varphi \end{pmatrix}[/tex]
quindi
[tex]\frac{dS}{d\rho} = \begin{pmatrix} \cos\varphi \\ \sin\varphi \\ \sin\varphi \end{pmatrix}[/tex] e [tex]\frac{dS}{d\varphi} = \begin{pmatrix} -\rho\sin\varphi \\ \rho\cos\varphi \\ \rho\cos\varphi \end{pmatrix}[/tex]
per cui
[tex]\left| \frac{dS}{d\rho}\times \frac{dS}{d\varphi} \right| = \left| \begin{pmatrix} \cos\varphi \\ \sin\varphi \\ \sin\varphi \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -\rho\sin\varphi \\ \rho\cos\varphi \\ \rho\cos\varphi \end{pmatrix} \right| = \left| \begin{pmatrix} 0 \\ -\rho \\ \rho \end{pmatrix} \right| = \sqrt{2}\rho[/tex]
quindi il mio integrale dovrebbe diventare
[tex]S_{4} = \int_{1}^{2}\int_{0}^{\pi} \sqrt{2}\rho \cdot \rho d\rho d\varphi= \int_{1}^{2}\int_{0}^{\pi} \sqrt{2}\rho^{2} d\rho d\varphi[/tex]
è corretto?
quindi, se ho capito bene
se sono superfici già verticali o orizzontali allora non mi serve il prodotto vettoriale delle derivate parziali
nel caso in cui sia una superficie obliqua come quella superiore invece uso anche il prodotto delle derivate parziali
correggimi se sbaglio
ragionando in coordinate cilindriche avrei la superficie definita come
[tex]\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \rho \cos\varphi \\ \rho \sin\varphi \\ \rho \sin\varphi \end{pmatrix}[/tex]
quindi
[tex]\frac{dS}{d\rho} = \begin{pmatrix} \cos\varphi \\ \sin\varphi \\ \sin\varphi \end{pmatrix}[/tex] e [tex]\frac{dS}{d\varphi} = \begin{pmatrix} -\rho\sin\varphi \\ \rho\cos\varphi \\ \rho\cos\varphi \end{pmatrix}[/tex]
per cui
[tex]\left| \frac{dS}{d\rho}\times \frac{dS}{d\varphi} \right| = \left| \begin{pmatrix} \cos\varphi \\ \sin\varphi \\ \sin\varphi \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -\rho\sin\varphi \\ \rho\cos\varphi \\ \rho\cos\varphi \end{pmatrix} \right| = \left| \begin{pmatrix} 0 \\ -\rho \\ \rho \end{pmatrix} \right| = \sqrt{2}\rho[/tex]
quindi il mio integrale dovrebbe diventare
[tex]S_{4} = \int_{1}^{2}\int_{0}^{\pi} \sqrt{2}\rho \cdot \rho d\rho d\varphi= \int_{1}^{2}\int_{0}^{\pi} \sqrt{2}\rho^{2} d\rho d\varphi[/tex]
è corretto?
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