Calcolo di una base

[Dursty]

Devo calcolare una base di $R^4$ formata da autovettori della matrice:

A = $((0,0,0,2),(0,0,1,0),(0,1,0,0),(1,0,0,0))$

Qualcuno mi può aiutare?

Grazie

[_Tipper]

Devi calcolare prima gli autovalori (si vede anche a occhio che sono $1$ con m.a. tre e $2$ con m.a. uno), poi costruisci per ogni autovalore la matrice $A-\lambda I$, dove $I$ è la matrice identità, poi ti calcoli i vettori $v \in \mathbb{R}^4 \setminus \{O\}$, dove $O \in \mathbb{R}^4$ è il vettore nullo, tali che $(A-\lambda I)v=O$.
I vettori $v$ sono gli autovettori relativi all'autovalore $\lambda$ considerato.

Se la matrice è diagonalizzabile sei in grado di scegliere $4$ autovettori linearmente indipendenti che poi saranno una base di $\mathbb{R}^4$.

[Dursty]

Grazie Tipper,
vediamo se ho capito

Se A = $((0,0,0,2),(0,0,1,0),(0,1,0,0),(1,0,0,0))$

ogni autovettore v(x,y,z,w) sarà tale per cui

$((0,0,0,2),(0,0,1,0),(0,1,0,0),(1,0,0,0))$ $((x),(y),(z),(w))$ = $lambda$ $((x),(y),(z),(w))$

ovvero

2w=$lambda$x
z=$lambda$y
y=$lambda$z
x=$lambda$w

da cui si ottiene che:

$lambda$=$z y$

[_Tipper]

"Dursty":$lambda$=$z y$

E che è 'sta roba?

[Dursty]

Scusa riprendo, mi era scappata la mano
vediamo se ho capito

Se A = $((0,0,0,2),(0,0,1,0),(0,1,0,0),(1,0,0,0))$

ogni autovettore v(x,y,z,w) sarà tale per cui

$((0,0,0,2),(0,0,1,0),(0,1,0,0),(1,0,0,0))$ $((x),(y),(z),(w))$ = $lambda$ $((x),(y),(z),(w))$

ovvero

2w=$lambda$x
z=$lambda$y
y=$lambda$z
x=$lambda$w

da cui si ottiene che:

$lambda$=z/y per y$!=$ 0
e quindi
$y^2=z^2$ $rArr$ y=z

ma anche
$lambda$=x/w per w$!=$ 0
$2w^2=x^2$ $rArr$ $x=wsqrt2$

un possibile autovettore sarà allora
$((wsqrt2),(y),(z),(w))$

ovvero
$((sqrt2),(1),(1),(1))$

Dopo di che?.....

[_Tipper]

Abbi pazienza, ho preso un abbaglio: gli autovalori non sono quelli che ti ho detto io, ma sono $\pm 1, \pm \sqrt{2}$.

[_Tipper]

Ti faccio vedere come calcolare gli autovettori relativi all'autovalore $\lambda=1$, tanto il procedimento è sempre lo stesso.

Costruiamo la matrice $A-\lambda I$, che risulta essere:

$((-1,0,0,2),(0,-1,1,0),(0,1,-1,0),(1,0,0,-1))$

Gli autovettori sono tutti e soli i vettori $v$ diversi dal vettore nullo tali che $(A - \lambda I)v=O$, dove $O$ è il vettore nullo.

Sia $v=((x_1),(x_2),(x_3),(x_4))$, allora svolgendo il prodotto matrice-vettore si ottiene questo sistema:

$\{(-x_1+2x_4=0),(-x_2+x_3=0),(x_2-x_3=0),(x_1-x_4=0):}= "dopo qualche conticino" =\{(x_1=x_4=0),(x_2=x_3):}$

Questa è l'equazione cartesiana dell'autospazio relativo all'autovalore $\lambda=1$, ponendo $x_2=\alpha$ come parametro libero si trova l'espressione del generico autovettore relativo all'autovalore $1$:

$((0),(\alpha),(\alpha),(0))=\alpha((0),(1),(1),(0))$

Quindi un autovettore relativo a $1$ è $((0),(1),(1),(0))$.

[Dursty]

Ancora un chiarimento

Una volta trovati i 4 autovettori

$((0),(1),(1),(0))$ $((0),(1),(-1),(0))$ $((sqrt2),(0),(0),(1))$ $((-sqrt2),(0),(0),(1))$

posso già dire che formano una base per $R^4$ ?

[_Tipper]

Sì. Per sicurezza puoi verificare che siano linearmente indipendenti.