Calcolo di lunghezze sul semipiano di Poncarè
Salve a tutti.
Non ho ben chiaro come si calcolino lunghezze di curve su una superficie geometrica, ad esempio sul semipiano superiore di Poincarè $\mathbb{R}^2_+ =\{(x,y) \in \mathbb{R}^2, y>0 \}$ con la metrica $E(x,y)=1, F(x,y)=0, G(x,y)= \frac{1}{y}$.
Devo calcolare la lunghezza dei segmenti di retta $y=mx$ con $m \in \mathbb{R}^+$ $0<\epsilon\leq x \leq 1$.
Si sa che $l_{\epsilon, 1}( \alpha )=\int_{\epsilon}^1 ||\alpha'(t)|| dt$ e che $||\alpha'(t)||=\sqrt(E(u(t),v(t)) (u'(t))^2+2u'(t)v'(t)F(u(t),v(t))+G(u(t),v(t)) (v'(t))^2 )$, dove ,indicando con $h$ una parametrizzazione di $\mathbb{R}^2_+$, $\alpha'(t)=u(t)h_u+v(t)h_v$.
Ora non capisco se posso scegliermi una parametrizzazione $h$ qualsiasi, ad esempio $h(x,y)=(x,y)$ con $y>0$.
Non ho ben chiaro come si calcolino lunghezze di curve su una superficie geometrica, ad esempio sul semipiano superiore di Poincarè $\mathbb{R}^2_+ =\{(x,y) \in \mathbb{R}^2, y>0 \}$ con la metrica $E(x,y)=1, F(x,y)=0, G(x,y)= \frac{1}{y}$.
Devo calcolare la lunghezza dei segmenti di retta $y=mx$ con $m \in \mathbb{R}^+$ $0<\epsilon\leq x \leq 1$.
Si sa che $l_{\epsilon, 1}( \alpha )=\int_{\epsilon}^1 ||\alpha'(t)|| dt$ e che $||\alpha'(t)||=\sqrt(E(u(t),v(t)) (u'(t))^2+2u'(t)v'(t)F(u(t),v(t))+G(u(t),v(t)) (v'(t))^2 )$, dove ,indicando con $h$ una parametrizzazione di $\mathbb{R}^2_+$, $\alpha'(t)=u(t)h_u+v(t)h_v$.
Ora non capisco se posso scegliermi una parametrizzazione $h$ qualsiasi, ad esempio $h(x,y)=(x,y)$ con $y>0$.
Risposte
Mmmmmm.... c'è una cosa che non mi torna: se hai ottenuto quei coefficienti per la II forma fondamentale, non dovresti avere di già la tua parametrizzazione del piano di Poincaré? Ricorda che se $x(u,v)$ è una parametrizzazione, allora $E=|x_u|^2,\ G=|x_v|^2,\ F=x_u\cdot x_v$. In ogni caso, a te basta parametrizzare le tue curve e per quello non hai problemi, potendo porre, semplicemente $x=t,\ y=mt,\ \ \epsilon\le t\le 1$ (dal momento che i coefficienti sono dati in termini delle coordinate cartesiane).
Io non ho ottenuto i coefficienti della prima fondamentale, mi sono stati forniti dal testo. Per questo mi chiedevo se per calcolare la lunghezza del segmento richiesto dovessi risalire ad una parametrizzazione della superficie che mi dà quei valori di $E,F,G$. Quindi non capisco perchè posso essere sicuro che ci siano le coordinate cartesiane sui piani tangenti.
"GreenLink":
Io non ho ottenuto i coefficienti della prima fondamentale, mi sono stati forniti dal testo. Per questo mi chiedevo se per calcolare la lunghezza del segmento richiesto dovessi risalire ad una parametrizzazione della superficie che mi dà quei valori di $E,F,G$. Quindi non capisco perchè posso essere sicuro che ci siano le coordinate cartesiane sui piani tangenti.
Forse mi hai frainteso: intendevo dire che, visto che hai già i coefficienti della seconda forma fondamentale, automaticamente puoi supporre che ci sia una certa parametrizzazione (ma non sei obbligato a ricavarla). Non ho però capito cosa intendi con l'ultima affermazione.
In parole povere, quello che non capisco di questo esercizio è chi siano $u(t)$ e $v(t)$ visto che non so chi siano $h_u$ e $h_v$; se ho capito bene tu dici che sono i vettori standard $e_1$ e $e_2$, ma non mi sembra una cosa immediata.
No aspetta, mi sa che stai facendo un po' di confusione: nella formula che scrivi $u(t),v(t)$ sono le componenti della parametrizzazione della CURVA relative alla parametrizzazione della SUPERFICIE. Dal momento che i coefficienti della I forma fondamentale sono dati in termini di coordinate $x,y$, puoi tranquillamente parametrizzare le rette al modo che ti dicevo prima.
Si hai ragione.
Ora è un problema di integrazione. Ho:
$\int_\epsilon^1 \sqrt(1+\frac{m}{t}) dt$
Ho provato a sostituire $w=1+\frac{m}{t}$ ma non riesco ad andare avanti.
Ora è un problema di integrazione. Ho:
$\int_\epsilon^1 \sqrt(1+\frac{m}{t}) dt$
Ho provato a sostituire $w=1+\frac{m}{t}$ ma non riesco ad andare avanti.
Lo puoi scrivere così:
[tex]$\int_\epsilon^1 t^{-1/2}(m+t)^{1/2}\ dt$[/tex]
e accorgerti che è un integrale differenziale binomio risolubile poiché [tex]$\frac{-1/2+1}{1}+\frac{1}{2}=1$[/tex] è intero.
In ogni caso, sostituisci $w=\sqrt{1+\frac{m}{t}}$ e trasforma tutto in un integrale di funzione razionale fratta (cambia anche gli estremi).
[tex]$\int_\epsilon^1 t^{-1/2}(m+t)^{1/2}\ dt$[/tex]
e accorgerti che è un integrale differenziale binomio risolubile poiché [tex]$\frac{-1/2+1}{1}+\frac{1}{2}=1$[/tex] è intero.
In ogni caso, sostituisci $w=\sqrt{1+\frac{m}{t}}$ e trasforma tutto in un integrale di funzione razionale fratta (cambia anche gli estremi).
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