Calcolo di aree
Ho il seguente problema:
date le parabole
$y=x^2$
e
$x=y^2$
trovare l'area della parte di piano compresa tra i loro grafici.
Ho ben chiaro tutto il procedimento ma c'è un punto che mi blocca. Mi spiego.
1. Cerco le intersezioni tra le due curve (se vi sono);
2. calcolo l'area della curva maggiorante (non so se si dice così) tra i due estremi trovati al punto 1 con un integrale definito;
3. calcolo l'area della curva minorante allo stesso modo;
4. faccio la differenza.
Il punto in cui mi blocco è nella risoluzione del sistema. In particolare:
$x^2=sqrt(x)$
ovvero:
$x^4=x$
da cui,
$x^4-x=0$
$x(x^3-1)=0$
$x=0$ è quindi una soluzione.
$(x^3-1)=0$
$x=1$ è un'altra soluzione. E poi? Un aiutino ed un conforto?
Grazie.
date le parabole
$y=x^2$
e
$x=y^2$
trovare l'area della parte di piano compresa tra i loro grafici.
Ho ben chiaro tutto il procedimento ma c'è un punto che mi blocca. Mi spiego.
1. Cerco le intersezioni tra le due curve (se vi sono);
2. calcolo l'area della curva maggiorante (non so se si dice così) tra i due estremi trovati al punto 1 con un integrale definito;
3. calcolo l'area della curva minorante allo stesso modo;
4. faccio la differenza.
Il punto in cui mi blocco è nella risoluzione del sistema. In particolare:
$x^2=sqrt(x)$
ovvero:
$x^4=x$
da cui,
$x^4-x=0$
$x(x^3-1)=0$
$x=0$ è quindi una soluzione.
$(x^3-1)=0$
$x=1$ è un'altra soluzione. E poi? Un aiutino ed un conforto?
Grazie.
Risposte
Poi basta.
$x^3-1=0$ ammette solo $x=1$ come soluzione.
Infatti
$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0$
ma la seconda parentesi è un falso quadrato, non si annulla mai (puoi controllare il suo delta).
$x^3-1=0$ ammette solo $x=1$ come soluzione.
Infatti
$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0$
ma la seconda parentesi è un falso quadrato, non si annulla mai (puoi controllare il suo delta).
dunque, $x=0$ e $x=1$ sono le uniche soluzioni reali di quell'equazione.
infatti, $x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1)$ le tre soluzioni sono quindi
$x=1 vv x=+-sqrt3/2i - 1/2$
ma siccome non siamo in analisi complessa, possiamo dire che le uniche soluzioni sono quelle che hai scritto
infatti, $x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1)$ le tre soluzioni sono quindi
$x=1 vv x=+-sqrt3/2i - 1/2$
ma siccome non siamo in analisi complessa, possiamo dire che le uniche soluzioni sono quelle che hai scritto
Grazie a tutti.
P.S.: carina quella del "falso quadrato", mi piace.
P.S.: carina quella del "falso quadrato", mi piace.
forse c'è un modo più semplice per calcolare l'area, anche se tutto sommato è semplice anche quello descritto da te... ma a me la prima cosa che mi è venuta in mente è stata la simmetria dei due grafici...
$A=2*\int_0^1\(x-x^2)dx = 2*(1/2 - 1/3) = 1/3$
ciao.
$A=2*\int_0^1\(x-x^2)dx = 2*(1/2 - 1/3) = 1/3$
ciao.
Si, il risultato è il medesimo, però non riesco a vedere l'equivalenza dei due metodi. Puoi spiegare?
Grazie.
mp
Grazie.
mp
se consideri le due parabole e la retta r: $y=x$, i tre grafici si intersecano nei punti (0,0) e (1,1) . le due parabole rappresentano due funzioni inverse e quindi hanno grafici simmetrici alla retta r, che è la bisettrice di primo e terzo quadrante. dunque la regione compresa tra le due parabole è divisa in due parti (inversamente congruenti) equivalenti dalla retta r. l'area da calcolare è quindi il doppio dell'area compresa tra una parabola e la retta... si poteva fare l'integrale di $(sqrt(x)-x)$ o l'integrale di $(x-x^2)$ perché uguali fra loro e la loro somma era l'integrale di $(sqrt(x)-x^2)$. è chiaro? ciao.
Molto elegante.
Grazie adaBTTLS.
Grazie adaBTTLS.
prego, e grazie per il complimento.
"alfredo":
Grazie a tutti.
P.S.: carina quella del "falso quadrato", mi piace.
Già, la definizione "falso quadrato" è proprio azzeccata!
Spesso gli studenti si confondono e lo scambiano per $(x+1)^2$ ...
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