Calcolo dell'omologia di uno spazio

[NightKnight1]

Vi propongo un esercizio di cui conosco una soluzione (perché mi è stata detta). Mi chiedo se ne esista una un po' più straightforward...

Siano $Y_1 = S^1 \times \{ 0 \} = \{ (x,y,0) \in RR^3 | x^2 + y^2 = 1 \}$ la circonferenza nel piano $xy$ di centro l'origine e raggio $1$,
$Y_2 = \{ (x,0,z) \in RR^3 | (x-1)^2 + z^2 = 1 \}$ la circonferenza nel piano $xz$ di centro $(1,0,0)$ e raggio $1$.
($Y_1$ e $Y_2$ si "allacciano")
Determinare il gruppo fondamentale e i gruppi di omologia di $X = RR^3 - (Y_1 cup Y_2)$.

A voi!

[apatriarca]

È da un po' che non faccio queste cose e spero di non dire stupidaggini..

Se non sbaglio $X$ è omotopo ad una superficie orientabile di genere $2$. Questa può essere scritta come unione di due tori ai quale è stato tolto un disco aperto. Queste due superfici sono omotope al wedge di due circonferenze e la loro intersezione è un cilindro che è omotopo ad una circonferenza. Siamo a questo punto in grado di scrivere la successione di Mayer-Vietoris e dare la soluzione.

[NightKnight1]

"apatriarca":Se non sbaglio $X$ è omotopo ad una superficie orientabile di genere $2$.

Credo che sia sbagliato; a me viene che $X$ è omotopicamente equivalente al wedge di un toro $S^1 times S^1$ e di una sfera $S^2$.

[apatriarca]

Ero di fretta e ci ho pensato un po' velocemente. Immagino tu possa avere ragione. Comunque l'idea generale non cambia, passa ad un qualche spazio omotopicamente equivalente più semplice da trattare e prova ad usare Mayer-Vietoris.