Calcolo dell'Immagine di applicazione lineare

Alexiei1
Non riesco a capire come si effettua il calcolo dell'immagine in un'applicazione lineare. Diciamo che non riesco ad assimilare la definizione...
Per esempio come posso calcolare l'immagine di questa applicazione?

sia f: $R^3$ $rarr$ $R^2$ definita da :

f$((x,y,z))$ = $((x-2y-z),(4x+y+2z))$


Ho cercato su molti libri esempi che mi facessero capire ed anche sul forum, ma proprio no riesco a capire...
Vi ringrazio per la disponibilità.

Risposte
Lord K
Prendi una base di $RR^3$ per esempio quella canonica e valuta la funzione in detti vettori:

$f(1,0,0) = (1,4)$
$f(0,1,0) = (-2,1)$
$f(0,0,1) = (-1,2)$

Vedi che ci sono solo due vettori linearmente indipendenti e quindi, essendo in $RR^2$ sono una base. $Imf\equiv RR^2$

Alexiei1
No scusa, non mi è molto chiaro... probabilmente sono un pò duro io.
io associo ad ogni colonna la base canonica in $R^3$, ma poi non cpaisco il passaggio che devo fare...

Lord K
Meglio:

$Imf = {lambda*(1,4)+mu*(-1,2)}$ e quindi è $RR^2$

Alexiei1
Allora, non capisco come mai non prendi (-2,1) e poi sul libro questo esercizio si concludeva così:


inf= $((1,0),(0,1))= $R^2$

dove li ha tirati fuori (1,0) e (0,1) ???

Sono molto confuso scusami.

Lord K
Non ti preoccupare! ;)

L'immagine è $RR^2$ quale che sia la base che prendi sempre $RR^2$ sarà! quindi lui porta ad esempio la base canonica.

Nel caso della mia scelta, prendere due dei tre vettori trovati è stato arbitrario. Voglio dire che siccome ne ho tre di certo al massimo due potrenno essere indipendenti: vedo che presi a due a due sono indipendenti e quindi arbitrariamente ne ho scelti $2$!!!

Perdona le ripetizioni ma sono volute per tentare di rendere più chiara la situazione.

Alexiei1
Quindi tu hai valutato che i vettori sono due a due indipendenti e ne hai quindi presi due arbitrari.
Poi hai associato la matrice della base canonica di $R^3$ alla matrice dei due vettori ?

Alexiei1
Così procedendo secondo il mio ragionamento otterrei :
Imf= $((1,4),(-2,1))$


??

fireball1
No, l'immagine di f non è una matrice ne' un insieme composto da 2 vettori, ma $RR^2$.
Quello che puoi scrivere è $"Im"f="span"{ ((1),(-2)) , ((4),(1))}-=RR^2

Alexiei1
Mmmm, forse ci sono.
Il fatto che l'immagine torni in quel modo mi è chiaro.
Ma come mai nel mio libro mi veniva:

Imf= span { $((1,0),(0,1)) $
e non come hai scritto te?

fireball1
Boh, sarà una questione di notazioni e simboli, fatto sta che l'immagine di f è l'insieme
di tutte le combinazioni lineari possibili dei vettori $((1),(-2))$ e $((4),(1))$, cioè lo span
di questi due vettori, che è proprio $RR^2$ essendo i due vettori linearmente indipendenti.

Alexiei1
Ti ringrazio davvero tanto, credo di essere riuscito a capire tutto.
Grazie mille e preparatevi ad altre millemila domande :)

kind85
e volendo creare una regola/procedura generale che valga per tutti i casi?
da quanto ho capito si deve valutare l'applicazione lineare del caso rispetto a una base, meglio se canonica, e poi vedere se i vettori risultanti sono lineari.
giusto?

kind85
risolvo un esempio per vedere se ho capito:
data $f:RR^3 \to RR^3$ così definita $f(x,y,z)=(x+3y+5z,2y+z,y+2z)$ determinare nucleo e immagine.
per il nucleo devo creare un sistema in cui $f(x,y,z)=(0,0,0)$, cioè
$\{(x+3y+5z= 0),(2y+z= 0),(y+2z= 0):}$
quando risolvo questo sistema mi devo fermare a $\{(x=z),(z= 0),(y=-2z):}$ oppure dico che $\{(x= 0),(z= 0),(y= 0):}$???
per quanto riguarda l'immagine:
"Sergio":

Costruisci la matrice associata e vedi quante sono le colonne linearmente indipendenti.
Se vedi quante di quelle colonne sono linearmente indipendenti, ottieni la dimensione dell'immagine ed una sua base.
Ci sono (almeno) tre metodi:
1) riduci $A$ a gradini per righe e prendi le colonne di $A$ (nella sua forma originaria) che corrispondono a colonne con pivot (nella matrice ridotta);
2) trasponi $A$ e la riduci a gradini; puoi prendere sia le righe non nulle della ridotta che le corrispondenti righe della matrice originaria;
3) riduci $A$ per colonne e prendi quelle non nulle.

costruisco la matrice associata rispetto alla base canonica di $RR^3$ e seguo il primo dei tre metodi:
$A=((1,3,5),(0,2,1),(0,1,2))$ e la riduco a gradini e ottengo la matrice $((1,3,5),(0,-1,-1/2),(0,0,3/2))$
in questa matrice ho 3 pivot, uno per ogni colonna. quindi devo prendere in considerazione tutta la matrice associata $A$. da questo ne deduco che la $dim(ker (f))=0$ e che $dim(Im(f))=3$.
per indicare correttamente l'immagine come lo devo scrivere?
a) $Im F -=RR^3$
b) $Im f = \{\alpha(1,0,0),\beta(3,2,1),\gamma(5,1,2)}$
a) b) o nessuno dei due?

kind85
in realtà sapevo di dover mettere i $+$ al posto delle virgole, ma poi non li ho messi.
una domanda che mi son dimenticato di fare prima: riducendo una matrice a gradini, il numero di colonne con pivot (nella matrice ridotta) equivale al numero di colonne linearmente indipendenti (nella matrice originale)? se si le colonne con pivot sono quelle linearmente indipendenti?

kind85
domanda: matrice a gradini è uguale a matrice triangolare?

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