Calcolo dell'Immagine di applicazione lineare
Non riesco a capire come si effettua il calcolo dell'immagine in un'applicazione lineare. Diciamo che non riesco ad assimilare la definizione...
Per esempio come posso calcolare l'immagine di questa applicazione?
sia f: $R^3$ $rarr$ $R^2$ definita da :
f$((x,y,z))$ = $((x-2y-z),(4x+y+2z))$
Ho cercato su molti libri esempi che mi facessero capire ed anche sul forum, ma proprio no riesco a capire...
Vi ringrazio per la disponibilità.
Per esempio come posso calcolare l'immagine di questa applicazione?
sia f: $R^3$ $rarr$ $R^2$ definita da :
f$((x,y,z))$ = $((x-2y-z),(4x+y+2z))$
Ho cercato su molti libri esempi che mi facessero capire ed anche sul forum, ma proprio no riesco a capire...
Vi ringrazio per la disponibilità.
Risposte
Prendi una base di $RR^3$ per esempio quella canonica e valuta la funzione in detti vettori:
$f(1,0,0) = (1,4)$
$f(0,1,0) = (-2,1)$
$f(0,0,1) = (-1,2)$
Vedi che ci sono solo due vettori linearmente indipendenti e quindi, essendo in $RR^2$ sono una base. $Imf\equiv RR^2$
$f(1,0,0) = (1,4)$
$f(0,1,0) = (-2,1)$
$f(0,0,1) = (-1,2)$
Vedi che ci sono solo due vettori linearmente indipendenti e quindi, essendo in $RR^2$ sono una base. $Imf\equiv RR^2$
No scusa, non mi è molto chiaro... probabilmente sono un pò duro io.
io associo ad ogni colonna la base canonica in $R^3$, ma poi non cpaisco il passaggio che devo fare...
io associo ad ogni colonna la base canonica in $R^3$, ma poi non cpaisco il passaggio che devo fare...
Meglio:
$Imf = {lambda*(1,4)+mu*(-1,2)}$ e quindi è $RR^2$
$Imf = {lambda*(1,4)+mu*(-1,2)}$ e quindi è $RR^2$
Allora, non capisco come mai non prendi (-2,1) e poi sul libro questo esercizio si concludeva così:
inf= $((1,0),(0,1))= $R^2$
dove li ha tirati fuori (1,0) e (0,1) ???
Sono molto confuso scusami.
inf= $((1,0),(0,1))= $R^2$
dove li ha tirati fuori (1,0) e (0,1) ???
Sono molto confuso scusami.
Non ti preoccupare! 
L'immagine è $RR^2$ quale che sia la base che prendi sempre $RR^2$ sarà! quindi lui porta ad esempio la base canonica.
Nel caso della mia scelta, prendere due dei tre vettori trovati è stato arbitrario. Voglio dire che siccome ne ho tre di certo al massimo due potrenno essere indipendenti: vedo che presi a due a due sono indipendenti e quindi arbitrariamente ne ho scelti $2$!!!
Perdona le ripetizioni ma sono volute per tentare di rendere più chiara la situazione.
L'immagine è $RR^2$ quale che sia la base che prendi sempre $RR^2$ sarà! quindi lui porta ad esempio la base canonica.
Nel caso della mia scelta, prendere due dei tre vettori trovati è stato arbitrario. Voglio dire che siccome ne ho tre di certo al massimo due potrenno essere indipendenti: vedo che presi a due a due sono indipendenti e quindi arbitrariamente ne ho scelti $2$!!!
Perdona le ripetizioni ma sono volute per tentare di rendere più chiara la situazione.
Quindi tu hai valutato che i vettori sono due a due indipendenti e ne hai quindi presi due arbitrari.
Poi hai associato la matrice della base canonica di $R^3$ alla matrice dei due vettori ?
Poi hai associato la matrice della base canonica di $R^3$ alla matrice dei due vettori ?
Così procedendo secondo il mio ragionamento otterrei :
Imf= $((1,4),(-2,1))$
??
Imf= $((1,4),(-2,1))$
??
No, l'immagine di f non è una matrice ne' un insieme composto da 2 vettori, ma $RR^2$.
Quello che puoi scrivere è $"Im"f="span"{ ((1),(-2)) , ((4),(1))}-=RR^2
Quello che puoi scrivere è $"Im"f="span"{ ((1),(-2)) , ((4),(1))}-=RR^2
Mmmm, forse ci sono.
Il fatto che l'immagine torni in quel modo mi è chiaro.
Ma come mai nel mio libro mi veniva:
Imf= span { $((1,0),(0,1)) $
e non come hai scritto te?
Il fatto che l'immagine torni in quel modo mi è chiaro.
Ma come mai nel mio libro mi veniva:
Imf= span { $((1,0),(0,1)) $
e non come hai scritto te?
Boh, sarà una questione di notazioni e simboli, fatto sta che l'immagine di f è l'insieme
di tutte le combinazioni lineari possibili dei vettori $((1),(-2))$ e $((4),(1))$, cioè lo span
di questi due vettori, che è proprio $RR^2$ essendo i due vettori linearmente indipendenti.
di tutte le combinazioni lineari possibili dei vettori $((1),(-2))$ e $((4),(1))$, cioè lo span
di questi due vettori, che è proprio $RR^2$ essendo i due vettori linearmente indipendenti.
Ti ringrazio davvero tanto, credo di essere riuscito a capire tutto.
Grazie mille e preparatevi ad altre millemila domande
Grazie mille e preparatevi ad altre millemila domande
e volendo creare una regola/procedura generale che valga per tutti i casi?
da quanto ho capito si deve valutare l'applicazione lineare del caso rispetto a una base, meglio se canonica, e poi vedere se i vettori risultanti sono lineari.
giusto?
da quanto ho capito si deve valutare l'applicazione lineare del caso rispetto a una base, meglio se canonica, e poi vedere se i vettori risultanti sono lineari.
giusto?
risolvo un esempio per vedere se ho capito:
data $f:RR^3 \to RR^3$ così definita $f(x,y,z)=(x+3y+5z,2y+z,y+2z)$ determinare nucleo e immagine.
per il nucleo devo creare un sistema in cui $f(x,y,z)=(0,0,0)$, cioè
$\{(x+3y+5z= 0),(2y+z= 0),(y+2z= 0):}$
quando risolvo questo sistema mi devo fermare a $\{(x=z),(z= 0),(y=-2z):}$ oppure dico che $\{(x= 0),(z= 0),(y= 0):}$???
per quanto riguarda l'immagine:
costruisco la matrice associata rispetto alla base canonica di $RR^3$ e seguo il primo dei tre metodi:
$A=((1,3,5),(0,2,1),(0,1,2))$ e la riduco a gradini e ottengo la matrice $((1,3,5),(0,-1,-1/2),(0,0,3/2))$
in questa matrice ho 3 pivot, uno per ogni colonna. quindi devo prendere in considerazione tutta la matrice associata $A$. da questo ne deduco che la $dim(ker (f))=0$ e che $dim(Im(f))=3$.
per indicare correttamente l'immagine come lo devo scrivere?
a) $Im F -=RR^3$
b) $Im f = \{\alpha(1,0,0),\beta(3,2,1),\gamma(5,1,2)}$
a) b) o nessuno dei due?
data $f:RR^3 \to RR^3$ così definita $f(x,y,z)=(x+3y+5z,2y+z,y+2z)$ determinare nucleo e immagine.
per il nucleo devo creare un sistema in cui $f(x,y,z)=(0,0,0)$, cioè
$\{(x+3y+5z= 0),(2y+z= 0),(y+2z= 0):}$
quando risolvo questo sistema mi devo fermare a $\{(x=z),(z= 0),(y=-2z):}$ oppure dico che $\{(x= 0),(z= 0),(y= 0):}$???
per quanto riguarda l'immagine:
"Sergio":
Costruisci la matrice associata e vedi quante sono le colonne linearmente indipendenti.
Se vedi quante di quelle colonne sono linearmente indipendenti, ottieni la dimensione dell'immagine ed una sua base.
Ci sono (almeno) tre metodi:
1) riduci $A$ a gradini per righe e prendi le colonne di $A$ (nella sua forma originaria) che corrispondono a colonne con pivot (nella matrice ridotta);
2) trasponi $A$ e la riduci a gradini; puoi prendere sia le righe non nulle della ridotta che le corrispondenti righe della matrice originaria;
3) riduci $A$ per colonne e prendi quelle non nulle.
costruisco la matrice associata rispetto alla base canonica di $RR^3$ e seguo il primo dei tre metodi:
$A=((1,3,5),(0,2,1),(0,1,2))$ e la riduco a gradini e ottengo la matrice $((1,3,5),(0,-1,-1/2),(0,0,3/2))$
in questa matrice ho 3 pivot, uno per ogni colonna. quindi devo prendere in considerazione tutta la matrice associata $A$. da questo ne deduco che la $dim(ker (f))=0$ e che $dim(Im(f))=3$.
per indicare correttamente l'immagine come lo devo scrivere?
a) $Im F -=RR^3$
b) $Im f = \{\alpha(1,0,0),\beta(3,2,1),\gamma(5,1,2)}$
a) b) o nessuno dei due?
in realtà sapevo di dover mettere i $+$ al posto delle virgole, ma poi non li ho messi.
una domanda che mi son dimenticato di fare prima: riducendo una matrice a gradini, il numero di colonne con pivot (nella matrice ridotta) equivale al numero di colonne linearmente indipendenti (nella matrice originale)? se si le colonne con pivot sono quelle linearmente indipendenti?
una domanda che mi son dimenticato di fare prima: riducendo una matrice a gradini, il numero di colonne con pivot (nella matrice ridotta) equivale al numero di colonne linearmente indipendenti (nella matrice originale)? se si le colonne con pivot sono quelle linearmente indipendenti?
domanda: matrice a gradini è uguale a matrice triangolare?
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