Calcolo dell'imm e del ker di una matrice

[merluzzo007]

Salve a tutti! Mi trovo di fronte a un problema:

-data la matrice A calcolo del ker A e im A.

Ho letto qualcosa in giro, ma non ci ho ben capito.
La matrice A è:

|1 2 -1|
|0 3 -3|
|2 1 1 |
[/list:u:2ms5nv7a]


Grazie!

[cirasa]

Buondì Merluzzo007!

Il $ker\ A$, per definizione, è il sottospazio di $\mathbb{R}^3$ dei vettori $(x,y,z)$ tali che
$((1,2,-1),(0,3,-3),(2,1,1))((x),(y),(z))=((0),(0),(0))$ (*)
(*) è un sistema omogeneo quindi l'insieme delle soluzioni sarà uno spazio vettoriale, appunto lo spazio $ker\ A$.

Invece $Im\ A$ è lo spazio generato dai vettori $Ae_1,Ae_2,Ae_3$ in $\mathbb{R}^3$, dove $e_1,e_2,e_3$ sono i vettori della base canonica di $\mathbb{R}^3$.

Prova a calcolare questi due spazi, se c'è qualcosa che non va chiedi nel dettaglio cosa ti turba.

P.S. Usa le formule, il messaggio sarà più leggibile!

[Lorin1]

Per aiutarti ulteriormente, ti dico che: per studiare l'$ImA$ basta studiare il rango della matrice associata al riferimento che sta considerando (se non è esplicitato allora è quello naturale), in tutti i modi il rango della matrice, ti dà la prima informazione, ovvero qual è la $dimImA$, poi per trovare una base che rappresenti questo sottospazio, prendi le colonne che intersecano il minore fondamentale (ovvero quelle che ti hanno permesso di calcolare il rango). Per quanto riguarda il $KerA$, per sapere la sua dimensione, usa il teorema del rango, e per trovare la base segui il consiglio di cirasa

[franced]

"merluzzo007":

data la matrice A calcolo del ker A e im A.

La matrice A è:

|1 2 -1|
|0 3 -3|
|2 1 1 |
[/list:u:snrlsuak]

La terza colonna di $A$ si ottiene sottraendo la seconda colonna dalla prima.
Quindi il ker ha dimensione 1 e l'immagine è generata dalla prima e seconda colonna.