Calcolo della dimensione dei sottospazi al variare di k
Ciao a tutti, ultimamente sto chiedendo un po troppa roba ma sto facendo esercizi su esercizi e se non ho chiaro qualcosa lo scrivo qui cosi da non avere lacune o dubbi all'esame, lo dico subito: non so come risolvere questo esercizio 
sto riscontrando problemi a lavorare con i sottospazi in generale e questo non è affatto facile a mio parere. Ho provato ad impostare la matrice per trovare la dimensione di Wk e viene fuori una 2x4 rispettivamente:
k-1 1 0 1-k
1 -1 k -1
avevo pensato di ridurla a scala e calcolare k nei vari bivi che incontrerò ma non avendo nessuna soluzione per quest'esercizio non so se sto facendo la cosa giusta ed eccomi qui a chiederlo a voi...potreste dirmi se la mia ipotesi per la risoluzione di questo esercizio (punto 1, per il punto 2 dopo vedrò) è corretta? se non lo è potreste dirmi voi la risoluzione? Grazie dell'aiuto!
sto riscontrando problemi a lavorare con i sottospazi in generale e questo non è affatto facile a mio parere. Ho provato ad impostare la matrice per trovare la dimensione di Wk e viene fuori una 2x4 rispettivamente:
k-1 1 0 1-k
1 -1 k -1
avevo pensato di ridurla a scala e calcolare k nei vari bivi che incontrerò ma non avendo nessuna soluzione per quest'esercizio non so se sto facendo la cosa giusta ed eccomi qui a chiederlo a voi...potreste dirmi se la mia ipotesi per la risoluzione di questo esercizio (punto 1, per il punto 2 dopo vedrò) è corretta? se non lo è potreste dirmi voi la risoluzione? Grazie dell'aiuto!
Risposte
si è il procedimento corretto da fare. in particolare risolvi il sistema e se trovi soluzioni diverse da quella banale allora assegni ad $(n+Rg(W_k))$ il ruolo di incognite ed estrai infine la base.
"cooper":
si è il procedimento corretto da fare. in particolare risolvi il sistema e se trovi soluzioni diverse da quella banale allora assegni ad $(n+Rg(W_k))$ il ruolo di incognite ed estrai infine la base.
Credo di aver sbagliato ad impostare la matrice, nel modo in cui l'ho impostata ho sempre soluzioni per qualsiasi k io imposti, mentre credo che il modo giusto sia impostarla in verticale come sono impostati i vettori in Wk ad esempio:
k-1 1
1 -1
0 k
1-k -1
in questo modo con il teo R.C. se trovo la dim 2 avrò 1 soluzione, con l'altra impostazione avrei avuto sempre infinito alla 2 o 3 soluzioni, una cosa alquanto improbabile a mio parere, puoi dirmi se è corretto cosi o lo era prima?
no la matrice era giusta prima. nota infatti che se volessi moltiplicare questa tua ultima matrice con il vettore delle incognite non riotterresti il sistema di partenza perchè non puoi svolgere il prodotto.
io invece ho sbagliato. devi assegnare il ruolo di parametro libero a $(n - Rg(W_k))$ incognite (mi è sfuggito il segno). non ha il + come erroneamente avevo scritto prima.
io invece ho sbagliato. devi assegnare il ruolo di parametro libero a $(n - Rg(W_k))$ incognite (mi è sfuggito il segno). non ha il + come erroneamente avevo scritto prima.
"cooper":
no la matrice era giusta prima. nota infatti che se volessi moltiplicare questa tua ultima matrice con il vettore delle incognite non riotterresti il sistema di partenza perchè non puoi svolgere il prodotto.
io invece ho sbagliato. devi assegnare il ruolo di parametro libero a $(n - Rg(W_k))$ incognite (mi è sfuggito il segno). non ha il + come erroneamente avevo scritto prima.
ok, ho ripreso l'ipotesi precedente e la sto portando avanti, per ora ho trovato la fine di un bivio composto da k diverso da 1 e k=0 in questo caso ho rg = 1, quindi n - 1 = 3 dovrò assegnare parametri liberi tra x1,x2,x3,x4 nell'equazione parametrica e trovare cosi una base?
devi assegnare il valore di parametro libero a 3 variabili non 4. dopodiché risolvi il sistema omogeneo e le soluzioni le esprimi come combinazione lineare di vettori.
se ti è più comodo puoi postare i conti che ti dico se stai procedendo correttamente. usando le apposite formule.
in alternativa puoi cercare in internet un esercizio tipo, ce ne sono a tonnellate!
se ti è più comodo puoi postare i conti che ti dico se stai procedendo correttamente. usando le apposite formule.
in alternativa puoi cercare in internet un esercizio tipo, ce ne sono a tonnellate!
"cooper":
devi assegnare il valore di parametro libero a 3 variabili non 4. dopodiché risolvi il sistema omogeneo e le soluzioni le esprimi come combinazione lineare di vettori.
se ti è più comodo puoi postare i conti che ti dico se stai procedendo correttamente. usando le apposite formule.
in alternativa puoi cercare in internet un esercizio tipo, ce ne sono a tonnellate!
credo di aver fatto bene, se ho sbagliato qualcosa sicuramente l'errore sarà sulla matrice ma questo è quel che ne ho tirato fuori:
per k = 0 e k diverso da 1 ho trovato la matrice
1 -1 0 -1
0 0 0 0
dalla quale ho tirato fuori:
x1 - x2 - x4 = 0
ed impostando i parametri x2 = t, x3 = s, x4 = u
x1 = t + u
per tirare fuori una base ho fatto il solito procedimento ( che non so scrivere al computer come avrai già capito dalla mia scrittura delle matrici ahahah ) e ne ho ricavato:
t(1,1,0,0) + u(1,0,0,1)
credo di aver concluso l'esercizio ed ottenendo una base di Wk = {(1,1,0,0),(1,0,0,1)}
dopo questo inferno di formule non fatte decentemente al computer ho finito il primo punto dell'esercizio (o almeno lo spero)!
allora, procediamo con ordine. studiamo il rango della matrice:
$ ( ( 1 , -1 , k , -1 ),( k-1 , 1 , 0 , 1-k ) ) $ dove ho invertito le righe per semplicità, per ridurre la matrice. studio adesso il rango riducendo con Gauss. ottengo la matrice:
$ ( ( 1 , -1 , k , -1 ),( 0 , k , -k , -k(k-2) ) ) $ . questa ha rango 2 se $k != 0$, mentre ha rango 1 se $k=0$.
sia ora $k=0$:
il sistema associato è $ { ( -x_1 +x_2+x_4=0 ),( x_1 - x_2- x_4=0 ):} $
risolvendolo (per esempio con la sostituzione) ottieni per esempio:
$ { ( x_1 = x_2 + x_4 ),( x_2 in RR ),( x_3 in RR ),( x_4 in RR ):} $
un generico vettore è allora scritto come:
$ ((x_2 + x_4),(x_2),(x_3),(x_4))= x_2((1),(1),(0),(0))+x_3((0),(0),(1),(0))+x_2((1),(0),(0),(1)) $
una base allora è formata da questi tre vettori (e conseguentemente si ha che $dim(W_0)= 3$)
sia ora $k != 0$:
il sistema rimane:
$ { ( (k-1)x_1+x_2+(1-k)x_4=0 ),( x_1-x_2+kx_3-x_4=0 ):} $ che risolto propone per esempio il generico vettore della forma
$ ((x_1),((k-1)x_3),(x_3),(x_1 + x_3)) $ quindi una sua base è...... e la dimensione è.....
a te concludere.
PS: esiste una guida per la scrittura delle formule!
inoltre non c'è bisogno di citare ogni messaggio.
$ ( ( 1 , -1 , k , -1 ),( k-1 , 1 , 0 , 1-k ) ) $ dove ho invertito le righe per semplicità, per ridurre la matrice. studio adesso il rango riducendo con Gauss. ottengo la matrice:
$ ( ( 1 , -1 , k , -1 ),( 0 , k , -k , -k(k-2) ) ) $ . questa ha rango 2 se $k != 0$, mentre ha rango 1 se $k=0$.
sia ora $k=0$:
il sistema associato è $ { ( -x_1 +x_2+x_4=0 ),( x_1 - x_2- x_4=0 ):} $
risolvendolo (per esempio con la sostituzione) ottieni per esempio:
$ { ( x_1 = x_2 + x_4 ),( x_2 in RR ),( x_3 in RR ),( x_4 in RR ):} $
un generico vettore è allora scritto come:
$ ((x_2 + x_4),(x_2),(x_3),(x_4))= x_2((1),(1),(0),(0))+x_3((0),(0),(1),(0))+x_2((1),(0),(0),(1)) $
una base allora è formata da questi tre vettori (e conseguentemente si ha che $dim(W_0)= 3$)
sia ora $k != 0$:
il sistema rimane:
$ { ( (k-1)x_1+x_2+(1-k)x_4=0 ),( x_1-x_2+kx_3-x_4=0 ):} $ che risolto propone per esempio il generico vettore della forma
$ ((x_1),((k-1)x_3),(x_3),(x_1 + x_3)) $ quindi una sua base è...... e la dimensione è.....
a te concludere.
PS: esiste una guida per la scrittura delle formule!
inoltre non c'è bisogno di citare ogni messaggio.
La prima soluzione è uguale a quella che ho trovato io solo che non essendo sicuro di una cosa ho levato x3 $((0,0,1,0))$
Per k$!=$0 trovo:
x1 $((1,0,0,1)$ + x2 $((0,k-1,1,1))$
posso usare k-1 come vettore di una base senza doverlo studiare ancora e porlo = o $!=$ da 1? Grazie della spiegazione mi hai chiarito molti dubbi che, come hai visto, sapevo come risolvere quest'esercizio ma avevo cosi tanti dubbi a riguardo che sbagliavo anche le cose piu stupide.
Per k$!=$0 trovo:
x1 $((1,0,0,1)$ + x2 $((0,k-1,1,1))$
posso usare k-1 come vettore di una base senza doverlo studiare ancora e porlo = o $!=$ da 1? Grazie della spiegazione mi hai chiarito molti dubbi che, come hai visto, sapevo come risolvere quest'esercizio ma avevo cosi tanti dubbi a riguardo che sbagliavo anche le cose piu stupide.
"Ghidan":
La prima soluzione è uguale a quella che ho trovato io solo che non essendo sicuro di una cosa ho levato x3
è sbagliatissimo perchè così togli di tua iniziativa un grado di libertà. tanto che cambiava anche la dimensione del sottospazio. dato che non c'era significava semplicemente che poteva assumere un qualunque valore!
"Ghidan":
Per k≠0 trovo:
x1 ((1,0,0,1) + x2 (0k−111)
a parte il refuso d stampa (è $x_3$ e non $x_2$) è corretto!
"Ghidan":
posso usare k-1 come vettore di una base senza doverlo studiare ancora e porlo = o ≠ da 1?
puoi lasciarlo cosìì! sostanzialmente ti dice che quella coordinata varia in base ad un qualunque valore di $k !=0$ che decidi di darle! se ti f piacere puoi anche mettere un valore a caso che quella rimane sempre una base (anche 1 va bene basta che non sia 0).
"Ghidan":
Grazie della spiegazione
di nulla!
Ora che ho addirittura due basi di Wk posso prendere la prima che è senza parametro ovvero W = $((1,0,1),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$, aggiungere i vettori della base U, ridurre a scala e se il rg W = rg U calcolo la base U$nn$W giusto?
non proprio. per trovare una base dell'intersezione estrai le equazioni cartesiane dal secondo sottospazio ed esrai una base dal sistema lineare omogeneo che viene fuori.
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