Calcolo della Base del Nucleo
Ciao ragazzi, ho questa matrice
$A = ((1,0,1,1),(k,k,1,2),(k,-k,k,0),(2k-1,0,k,1))$
Dopo gli opportuni calcoli ho trovato che per k diverso da 0 e k diverso da 1 la caratteristica della matrice è 3, quindi $dim(Im) $ = 3 e $dim(ker)$=1.
Una base dell'immagine sono i vettori $(0,k,-k,0)$, $(1,1,k,k)$, $(1,2,0,1)$
Per trovare però la base del nucleo come posso fare? Se costruisco il sistema e lo uguaglio al vettore $(0,0,0,0)$ non trovo un metodo che mi permetta di risolverlo facilmente.
Grazie in anticipo
$A = ((1,0,1,1),(k,k,1,2),(k,-k,k,0),(2k-1,0,k,1))$
Dopo gli opportuni calcoli ho trovato che per k diverso da 0 e k diverso da 1 la caratteristica della matrice è 3, quindi $dim(Im) $ = 3 e $dim(ker)$=1.
Una base dell'immagine sono i vettori $(0,k,-k,0)$, $(1,1,k,k)$, $(1,2,0,1)$
Per trovare però la base del nucleo come posso fare? Se costruisco il sistema e lo uguaglio al vettore $(0,0,0,0)$ non trovo un metodo che mi permetta di risolverlo facilmente.
Grazie in anticipo
Risposte
Ritiro su il posto perchè sono ancora nella solita situazione di ieri, non me ne vogliate 
Dunque costruisco il sistema(nn so come si fa la graffa):
$x1 + x2 + x4 = 0$
$kx1 + kx2 + x3 + 2x4 = 0$
$kx1 - kx2 + kx3=0$
$(2k-1)x1 + kx3 + x4=0$
A questo punto come posso risolverso? In alcuni esempi del libro vengono attribuiti dei valori a piacere alle cosidette "variabili libere", ma in questo esempio quali sono? Oppuere eventualmente come posso risolvere questo sistema, per altro non capisco come mai nella soluzione risulta un vettore che non dipende da $k$.
Grazie in anticipo
Dunque costruisco il sistema(nn so come si fa la graffa):
$x1 + x2 + x4 = 0$
$kx1 + kx2 + x3 + 2x4 = 0$
$kx1 - kx2 + kx3=0$
$(2k-1)x1 + kx3 + x4=0$
A questo punto come posso risolverso? In alcuni esempi del libro vengono attribuiti dei valori a piacere alle cosidette "variabili libere", ma in questo esempio quali sono? Oppuere eventualmente come posso risolvere questo sistema, per altro non capisco come mai nella soluzione risulta un vettore che non dipende da $k$.
Grazie in anticipo
Se per $k \ne 0,1$ la dimensione del ker è $1$ allora un'equazione è di troppo, ovvero, tramite opportune semplificazioni (sostituzioni etc...) una puoi eliminarle; fatto questo, sempre perché la dimensione del ker è $1$, ti basta scegliere un parametro libero, assegnalo alla variabile che più ti piace (ad esempio poni $x_1 = \alpha$). A questo punto devi esprimere, attraverso noiose sostituzioni, anche le altre variabili in funzioni di $\alpha$, cioè devi determinare delle costanti $h,m,n$ tali che $x_2 = \alpha h$, $x_3 = \alpha m$, $x_4 = \alpha n$. A questo punto il generico vettore del ker si scrive come $((\alpha),(\alpha h),(\alpha m),(\alpha n)) = \alpha ((1),(h),(m),(n))$, quindi una base del ker è data dal vettore $((1),(h),(m),(n))$. Ho supposto che dai conti risultasse $x_1 \ne 0$, se così non fosse assegna il parametro libero ad un'altra variabile.
Grazi della risposta Tipper, quello che mi stavo chiedendo però è se esiste un modo un pò più "furbo" per risolvere il sistema, nel compito che sto provando a fare il profe chiede di calcolare base di Im e base di Ker per k diverso da 0 e 1, k=0 e k=1... ci vorrebbe tutto il tempo a disposizione per il compito solo per risolvere questi tre sistemi.
Osservando la matrice non è che si nota qualche "rapporto" tra le colonne?
Osservando la matrice non è che si nota qualche "rapporto" tra le colonne?
La cosa che puoi provare a fare è ridurre a scala per colonne la matrice $A$, altro non mi viene in mente per semplificare i conti.
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