Calcolo del volume di una piramide tramite vettori
Sto cercando di capire come andare avanti con un esercizio, prima ho controllato quello già fatto durante la lezione, dove per trovare il volume del parallelepipedo in base ai vettori si ricorre ad una formula semplice. Adesso ho un esercizio simile, ma con una piramide con quattro lati di cui bisogna sempre calcolare il volume in base ai vettori. Ho provato a seguire lo stesso procedimento dell'esercizio precedente, ma nonostante ciò non riesco ad andare avanti. Potete darmi qualche indicazione a riguardo? grazie in anticipo!
Risposte
[xdom="giammaria"]Non mi sembra programma di scuola secondaria; sposto in geometria e algebra lineare.[/xdom]
[Fare la figura...]
Osservo che i punti \(\displaystyle P_1,P_2,P_4,P_3 \) in quest'ordine stanno in un medesimo piano e sono i vertici di un parallelogramma [verificare
]. Ora indico con \(\displaystyle P_o \) la proiezione ortogonale di \(\displaystyle P_5 \) sul piano della base della piramide ; con h la distanza \(\displaystyle P_oP_5 \), con \(\displaystyle A_b \) l'area della base della piramide ed infine con \(\displaystyle \phi,\theta\) rispettivamente gli angoli \(\displaystyle P_1P_3P_4,P_3P_5P_o \)Risulta:
\(\displaystyle A_b =(\vec{P_3P_1})(\vec{P_3P_4})\sin\phi=|\vec{P_3P_1} \bigwedge \vec{P_3P_4}| \)
\(\displaystyle h=|\vec{P_3P_5}|\cos\theta=\vec{P_3P_5}\cdot \vec{n} \)
dove \(\displaystyle \vec{n} \) - rappresenta il versore della normale al piano della piramide.
[qui \(\displaystyle \bigwedge \) è il simbolo di prodotto vettore e " \(\displaystyle \cdot\) " è il simbolo di prodotto scalare]
Sostituendo nella formula del volume V di una piramide si ha :
\(\displaystyle V=\frac{1}{3}A_bh=\frac{1}{3}| \vec{P_3P_1} \bigwedge \vec{P_3P_4} |(\vec{P_3P_5} \cdot \vec{n} )=\)\(\displaystyle \frac{1}{3}( \vec{P_3P_1} \bigwedge \vec{P_3P_4})\cdot (\vec{P_3P_5})\)
Com'è noto il prodotto misto di tre vettori è uguale al valore assoluto del determinante della matrice che ha come righe le componenti di tali vettori. Pertanto risulta :
\(\displaystyle V=\frac{1}{3}\left|det\begin{pmatrix} -4&0&-1\\0&5&-1\\-2&3&4\end{pmatrix}\right| =\frac{1}{3}102 =34\)
@vittorino70 che software hai usato?
Vittorino, io ti ringrazio infinitamente, ma al contempo te mi ucciderai, perché prima di leggere la tua soluzione mi sono imbattuto nell'esercizio già svolto negli appunti! 
Eccolo qui, il risultato è lo stesso: come puoi vedere il sistema utilizzato mi sembra molto diverso dal tuo, e vorrei concentrarmi a capire questo mio, con tutto rispetto per l'egregio lavoro che hai fatto, e ti ringrazio ancora.
Allora, ci sono dei punti che non mi sono ancora ben chiari.
Eccolo qui, il risultato è lo stesso: come puoi vedere il sistema utilizzato mi sembra molto diverso dal tuo, e vorrei concentrarmi a capire questo mio, con tutto rispetto per l'egregio lavoro che hai fatto, e ti ringrazio ancora.
Allora, ci sono dei punti che non mi sono ancora ben chiari.
- Quando si disegnano sul piano cartesiano i vettori, come faccio a sapere dove stanno i punti? perché ad esempio qui c'è il P2 in alto a sx, il P4 in alto a dx e così via?
Alla fine inoltre non mi è chiaro perché il Volume della piramide si calcola tramite il Volume del prodotto misto 120 (Spatprodukt) diviso 3. Perché proprio 3?[/list:u:2pxlil4n]
"MattSid":
Alla fine inoltre non mi è chiaro perché il Volume della piramide si calcola tramite il Volume del prodotto misto 120 (Spatprodukt) diviso 3. Perché proprio 3?
Perchè il suo volume è uguale a $1/3$ del volume di un prisma costruito a partire dai suoi lati e altezza.
Intendi un Prisma vero? se mi capita un esercizio uguale, ma con ad esempio un triangolo a 3 lati, come faccio a capire ogni volta di quanto devo dividere? esiste una tabella per le forme principali? Chiedo perché questo tipo di esercizio probabilmente tornerà nella prova scritta ma con un altra forma.
I punti li ho disegnati nello spazio cartesiano e vengono in quel modo. Una verifica algebrica la puoi fare osservando che i vettori \(\displaystyle \vec{P_1P_3},\vec{P_2P_4}\) sono congruenti in lunghezza e sono paralleli in direzione . E così gli altri due vettori. Pertanto i 4 punti non possono che stare come in figura. Quanto al resto, la mia soluzione e quella tua sono identiche nella sostanza con alcune differenze formali. Per esempio i vettori che io ho indicato con \(\displaystyle \vec{P_3P_1} , \vec{P_3P_4}, \vec{P_3P_5}\) sono indicati come \(\displaystyle \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\).
In primo tempo anch'io avevo pensato di indicarli così ed infatti se guardi la figura sono presenti i vettori \(\displaystyle \vec{A}, \vec{B}, \vec{C}\). Inoltre il volume è stato calcolato ,con la tua soluzione, direttamente con la formula del prodotto triplo mentre io mi sono permesso di dimostrarlo. Una ulteriore differenza formale sta nel fatto che il prodotto triplo io l'ho calcolato con la matrice mentre nella tua soluzione è calcolato prima trovando il prodotto vettoriale tra i vettori \(\displaystyle \vec{a},\vec{b}\) , poi trovando il prodotto scalare tra questi ed il vettore \(\displaystyle \vec{c} \) . Non cambia nulla. Quanto alle formule per i volumi, si tratta di espressioni che puoi trovare anche su testi elmentari.
@lordb
Uso GeoGebra.
In primo tempo anch'io avevo pensato di indicarli così ed infatti se guardi la figura sono presenti i vettori \(\displaystyle \vec{A}, \vec{B}, \vec{C}\). Inoltre il volume è stato calcolato ,con la tua soluzione, direttamente con la formula del prodotto triplo mentre io mi sono permesso di dimostrarlo. Una ulteriore differenza formale sta nel fatto che il prodotto triplo io l'ho calcolato con la matrice mentre nella tua soluzione è calcolato prima trovando il prodotto vettoriale tra i vettori \(\displaystyle \vec{a},\vec{b}\) , poi trovando il prodotto scalare tra questi ed il vettore \(\displaystyle \vec{c} \) . Non cambia nulla. Quanto alle formule per i volumi, si tratta di espressioni che puoi trovare anche su testi elmentari.
@lordb
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