Calcolo del volume di un insieme
Salve a tutti,ho qualche difficoltà nella risoluzione del seguente esercizio... Non so come impostare l'integrale triplo, non ho capito bene come si procede...
Calcolare il volume dell'insieme T di $R^3$ dalla legge:
T ={(x,y,z) $in$ $R^3$ : $x^2$ + $y^2$ + $z^2$ $<=$ 1, $x^2$ + $y^2$ $<=$ $z^2$, 0 $<=$ z $<=$ $sqrt(3)/2$ }
Calcolare il volume dell'insieme T di $R^3$ dalla legge:
T ={(x,y,z) $in$ $R^3$ : $x^2$ + $y^2$ + $z^2$ $<=$ 1, $x^2$ + $y^2$ $<=$ $z^2$, 0 $<=$ z $<=$ $sqrt(3)/2$ }
Risposte
"xxValentinaxx":
Salve a tutti,ho qualche difficoltà nella risoluzione del seguente esercizio... Non so come impostare l'integrale triplo, non ho capito bene come si procede...
Calcolare il volume dell'insieme T di $R^3$ dalla legge:
T ={(x,y,z) $in$ $R^3$ : $x^2$ + $y^2$ + $z^2$ $<=$ 1, $x^2$ + $y^2$ $<=$ $z^2$, 0 $<=$ z $<=$ $sqrt(3)/2$ }
Il tuo problema è trovare gli estremi di integrazione:
hai le due superfici (per intenderci le prime due disequazioni che hai scritto): trovi (risolvendo entrambe su z) i punti di intersezione (una curva) tra le due superfici. Proietti tale curva nel piano xy. In questo caso ottieni: $x^2+y^2<=1/2$ Gli estremi su $x$ saranno da $-sqrt(1/2)$ a $sqrt(1/2)$ mentre per $y$ saranno $-sqrt(1/2-x^2)$ a $sqrt(1/2-x^2)$
Gli estremi per la $z$ te li dà già il problema.
Nota bene: se ti chiedeva di trovare il volume racchiuso dalle due superfici gli estremi di integrazione per $z$ erano da $sqrt(x^2+y^2)$ a $sqrt(1-x^2-y^2)$
Salvo errori, questo è quanto.
Ciao.
Tipico esercizio da risolvere in coordinate polari...
Allora innanzitutto calcoli il valore di "z" per il quale le due funzioni coincidono...tale valore è proprio $z=1/sqrt2$.
A questo punto spacchi in due l'intervallo in cui devi integrare, il primo in $0
Allora innanzitutto calcoli il valore di "z" per il quale le due funzioni coincidono...tale valore è proprio $z=1/sqrt2$.
A questo punto spacchi in due l'intervallo in cui devi integrare, il primo in $0
Il secondo metodo a dire la verità non mi è molto chiaro,mentre col primo effettivamente mi è venuto facilissimo impostare (capendolo) l'integrale. Adesso però ho difficoltà nella risoluzione vera e propria,perchè ad un certo punto mi ritrovo a dover integrare la radice e ... non mi ricordo come si fa in questi casi =P Help!
Ho provato a risolverlo in un altro modo ancora...
Ho considerato che il volume dell'insieme dato potesse essere interpretato come l'integrale definito tra 0 e $sqrt(3)/2$ della funzione $\varphi$ dipendente dalla variabile z mediante la legge:
$\varphi$(z) = $\pi$$z^2$
E' sbagliato?
Ho considerato che il volume dell'insieme dato potesse essere interpretato come l'integrale definito tra 0 e $sqrt(3)/2$ della funzione $\varphi$ dipendente dalla variabile z mediante la legge:
$\varphi$(z) = $\pi$$z^2$
E' sbagliato?
Possibile che nessuno possa darmi una mano? 
Domani ho esame,sigh!
Domani ho esame,sigh!
"xxValentinaxx":
Salve a tutti,ho qualche difficoltà nella risoluzione del seguente esercizio... Non so come impostare l'integrale triplo, non ho capito bene come si procede...
Calcolare il volume dell'insieme T di $R^3$ dalla legge:
T ={(x,y,z) $in$ $R^3$ : $x^2$ + $y^2$ + $z^2$ $<=$ 1, $x^2$ + $y^2$ $<=$ $z^2$, 0 $<=$ z $<=$ $sqrt(3)/2$ }
Dunque l'insieme di definizione è l'intersezione della sfera di raggio unitario con una paraboloide di raggio "z". Ora troviamo il punto di intersezione tra queste due figure:
${(x^2+y^2+z^2=1),(x^2+y^2=z^2))$
Risolvendo il sistema si trova che tale punto è $z=1/sqrt(2)$.
Quindi per $0
Ok,credo di aver afferrato il ragionamento. Per maggiore sicurezza,propongo questo nuovo esercizio.
Per ogni $\delta$ $in$ (0,1) si denoti con T($\delta$) l'insieme di $R^3$ definito dalla legge:
T($\delta$)= {(x,y,z) $in$ $R^3$ : (1- $\delta$)^2 $<=$ $x^2$+ $y^2$+ $z^2$ $<=$ (1+$\delta$)^2, $x^2$ + $y^2$$<=$ $z^2$, z$>=$0}
Ho pensato di applicare 2 volte il ragionamento che mi hai indicato per l'esercizio precedente,calcolando quindi:
$\int_{0}^{(1+delta)/(sqrt(2))} dz$$\int_{0}^{2\pi}d(theta)$$\int_{0}^{z} r dr$ + il volume della calotta sferica tra $ (1+delta)/sqrt(2)$ e $(1+delta)$
e poi sottrarre a questo volume totale,quello della calotta sferica compresa tra $(1-delta)/sqrt(2)$ e $(1-delta)$ e quello del 'cilindroidino' compreso tra 0 e $(1-delta)/sqrt(2)$. E' corretto?
Per ogni $\delta$ $in$ (0,1) si denoti con T($\delta$) l'insieme di $R^3$ definito dalla legge:
T($\delta$)= {(x,y,z) $in$ $R^3$ : (1- $\delta$)^2 $<=$ $x^2$+ $y^2$+ $z^2$ $<=$ (1+$\delta$)^2, $x^2$ + $y^2$$<=$ $z^2$, z$>=$0}
Ho pensato di applicare 2 volte il ragionamento che mi hai indicato per l'esercizio precedente,calcolando quindi:
$\int_{0}^{(1+delta)/(sqrt(2))} dz$$\int_{0}^{2\pi}d(theta)$$\int_{0}^{z} r dr$ + il volume della calotta sferica tra $ (1+delta)/sqrt(2)$ e $(1+delta)$
e poi sottrarre a questo volume totale,quello della calotta sferica compresa tra $(1-delta)/sqrt(2)$ e $(1-delta)$ e quello del 'cilindroidino' compreso tra 0 e $(1-delta)/sqrt(2)$. E' corretto?
Si il tuo ragionamento è giusto....
Un'altra cosa, mi correggo.....la figura che ho indicato come "paraboloide" è in realtà un "cono" visto che il raggio cresce linearmente......ciao!!!
Un'altra cosa, mi correggo.....la figura che ho indicato come "paraboloide" è in realtà un "cono" visto che il raggio cresce linearmente......ciao!!!
Grazie mille per l'aiuto! 
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