Calcolo del polinomio caratteristico
Ciao.
Delle volte ho dei problemi a calcolare il polinomio caratteristico. Ad esempio, in questo esercizio devo trovare per quali k ho tre autovalori distinti e per quali k ho autovalori di molteplicità algebrica maggiore di 1. Allora facendo il polinomio caratteristico:
$((k-\lambda,0,0),(0,-\lambda,k-2),(k,-1,2-\lambda))$
viene fuori: $p(\lambda)=(k-\lambda)[-\lambda(2-\lambda)+(k-2)]
Ora come faccio a calcolare le soluzioni su una cosa del genere???? O meglio come faccio a "semplificarla" per calcolare più agevolmente le soluzioni?
Grazie.
Delle volte ho dei problemi a calcolare il polinomio caratteristico. Ad esempio, in questo esercizio devo trovare per quali k ho tre autovalori distinti e per quali k ho autovalori di molteplicità algebrica maggiore di 1. Allora facendo il polinomio caratteristico:
$((k-\lambda,0,0),(0,-\lambda,k-2),(k,-1,2-\lambda))$
viene fuori: $p(\lambda)=(k-\lambda)[-\lambda(2-\lambda)+(k-2)]
Ora come faccio a calcolare le soluzioni su una cosa del genere???? O meglio come faccio a "semplificarla" per calcolare più agevolmente le soluzioni?
Grazie.
Risposte
Una soluzione di $p(\lambda) = 0$ è $\lambda = k$, trovi le altre risolvendo, rispetto a $\lambda$, l'equazione di secondo grado $-\lambda (2 - \lambda) + k - 2 = 0$.
Si quello lo so, però scritto in quella forma non mi trovo molto a mio agio nel trovare le soluzioni.
Basta applicare la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado...
Ecco ci avevo provato e mi veniva fuori:
$\lambda^2-2\lambda+(k-2)
In questo caso il valore di delta dipende dal valore di k. Io vedendo la matrice so già che gli autovalori saranno distinti per $k!=0$ e $k!=2$ (se non sbaglio, guardando la diagonale principale). Ma come faccio con un polinomio simile a farmi tornare questi conti, dato che ci sono vari casi?
$\lambda^2-2\lambda+(k-2)
In questo caso il valore di delta dipende dal valore di k. Io vedendo la matrice so già che gli autovalori saranno distinti per $k!=0$ e $k!=2$ (se non sbaglio, guardando la diagonale principale). Ma come faccio con un polinomio simile a farmi tornare questi conti, dato che ci sono vari casi?
Ho detto una boiata 
Solo quando trovo la matrice triangolare o diagonale i suoi autovalori sono nella diagonale principale. Però mi rimane il problema di trovare le soluzioni.
Solo quando trovo la matrice triangolare o diagonale i suoi autovalori sono nella diagonale principale. Però mi rimane il problema di trovare le soluzioni.
Allora vediamo se ci sono riuscito.
Calcolo comunque il delta con il parametro k e viene:
$4-4(k-2)$
Adesso se devo cercare radici reali e distinte devo vedere quando questo delta è maggiore o uguale a 0, per cui:
$4-4k+8>=0 => k<=3$
Ora se sostituisco con 3 nell'equazione mi vengono due soluzioni reali e coincidenti (delta uguale a 0) e la soluzione è $\lambda_(1,2)=1$ mentre se sostituisco arbitrariamente con un k<3 le soluzioni saranno reali e distinte ma sempre diverse (a seconda del k).
Cioè non capisco a questo punto quali possano essere gli autovalori.
Calcolo comunque il delta con il parametro k e viene:
$4-4(k-2)$
Adesso se devo cercare radici reali e distinte devo vedere quando questo delta è maggiore o uguale a 0, per cui:
$4-4k+8>=0 => k<=3$
Ora se sostituisco con 3 nell'equazione mi vengono due soluzioni reali e coincidenti (delta uguale a 0) e la soluzione è $\lambda_(1,2)=1$ mentre se sostituisco arbitrariamente con un k<3 le soluzioni saranno reali e distinte ma sempre diverse (a seconda del k).
Cioè non capisco a questo punto quali possano essere gli autovalori.
"Manugal":
Ecco ci avevo provato e mi veniva fuori:
$\lambda^2-2\lambda+(k-2)
Risolvendo l'equazione associata rispetto a $\lambda$ si trova
$\lambda_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1 - k + 2} = 1 \pm \sqrt{3 - k}$
Se $k < 3$ il polinomio caratteristico ha $3$ radici reali distinte, che sono
$k$
$1 - \sqrt{3 - k}$
$1 + \sqrt{3 - k}$
Se $k=3$, le radici del polinomio caratteristico sono $3$ (di molteplicità algebrica $1$) e $1$ (di molteplicità algebrica $2$).
Se $k > 3$, il polinomio caratteristico ha una radice reale, che è $k$, e due radici complesse coniugate, che sono $1 \pm i \sqrt{k - 3}$.
Ok, grazie. Ora è più chiaro. 
Un'ultima cosa. Quando vado a calcolare l'autospazio associato a k ($V_k$) mi vengono fuori dei calcoli assurdi, il vettore generico è qualcosa del tipo $((k^2-k-2)/(k^2)z,(k-2)/(k)z,z)$. Possibile venga una cosa del genere?? Perché non ho capito se, nonostante io abbia trovato per quali valori di k si verificano tutti quei casi, devo usare ancora il valore "generico" k per trovare gli autospazi o devo usare dei valori specifici.
"Manugal":
Possibile venga una cosa del genere??
Mah... direi proprio di no... Potresti postare il procedimento che hai adottato?
Allora la matrice dell'autospazio $V_k$ è:
$((k-k,0,0),(0,0-k,k-2),(k,-1,2-k))$
da cui viene fuori il sistema:
0 = 0
-ky+(k-2)z = 0
kx-y+(2-k)z = 0
Poi il resto viene dal vettore generico.
$((k-k,0,0),(0,0-k,k-2),(k,-1,2-k))$
da cui viene fuori il sistema:
0 = 0
-ky+(k-2)z = 0
kx-y+(2-k)z = 0
Poi il resto viene dal vettore generico.
Ah, scusa! Mi ero fatto ingannare da quel $k^2$, ma $k$ non è un parametro, ma è l'autovalore, quindi ok. Non ho fatto i conti, ma potrebbe benissimo venire quel vettore generico. In tal caso una base dell'autospazio sarebbe costituita dal solo vettore
$((\frac{k^2 - k - 2}{k^2}),(\frac{k-2}{k}),(1))$
$((\frac{k^2 - k - 2}{k^2}),(\frac{k-2}{k}),(1))$
Ah allora va bene si deve procedere così. Ok grazie mille Tipper sei la mia salvezza 
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