Calcolo del gruppo fondamentale con Van Kampen

[EtaBeta88]

Buongiorno a tutti,

sto provando a risolvere il seguente esercizio:



Sia $X$ lo spazio topologico "salvagente a gettone", definito
come quoziente del quadrato $[0,1] \times [0,1]$ per la relazione di
equivalenza data da:

- $(x,y)~(x,y)$ per ogni $(x,y) \in [0,1] \times [0,1]$,
- $(x,0)~(x,1)$ per ogni $x \in [0,1]$,
- $(0,y)~(1,y)$ per ogni $y \in [0,1]$,
- se $|(x,y)-(1/4,1/4)| \leq 1/8$, $(x,y)~(x+1/2,y+1/2)$.

Calcolare il gruppo fondamentale di $X$.




Riporto in seguito il mio ragionamento.


Disegnando lo spazio $X$ si ottiene un toro con due cerchi identificati.

Per calcolare il gruppo fondamentale ho provato ad utilizzare il teorema
di Van Kampen, suddivendendo $X$ nell'unione di due aperti nel seguente
modo:

- $A$ e` un aperto interno al toro contenente i due cerchi "problematici",
- $B$ e` il toro privato di un aperto (piccolo abbastanza da far si`
che $A \cup B=X$).

Si vede che effettivamente $A \cap B$ e` connesso per archi, e cosi` sono
anche $A$ e $B$, e siamo dunque nelle ipotesi per applicare
il teorema di Van Kampen.

Calcolando il $\pi _1 (A)$, $\pi _1 (B)$, $\pi _1 (A \cap B)$ sono arrivata ai
seguenti risultati:

- $\pi _1 (A) = Z \star Z$ perche` $A$ e` omotopo ad $S^1 \vee S^1$,
- $\pi _1 (B) = Z$, perche` $B$ e` omotopo a un cilindro,
- $\pi _1 (A \cap B) = Z$ perche` $A \cap B$ e` una corona circolare, dunque omotopo a $S^1$.

Esplicitando i vari generatori:

- $\pi _1 (A) = $,
- $\pi _1 (B) = $,
- $\pi _1 (A \cap B) = $.

Scrivendo il generatore $d$ del $\pi _1(A \cap B)$ in termini dei generatori di $A$ e $B$
si ottiene rispettivamente:

- $d = aba^{-1}b^{-1}$,
- $d = c c^{-1} = e$.

Allora tramite la mappa indotta dall'inclusione di $B$ in $X$ il generatore
$d$ viene mandato nell'elemento neutro del $\pi _1 (X)$ (perche` la mappa
e` un omomorfismo): per la commutativita` garantita dal teorema
di Van Kampen devo arrivare al neutro del $\pi _1 (X)$ anche seguendo
la mappa indotta dall'inclusione di $A$ in $X$.

Allora ho che $aba^{-1}b^{-1} = e$ visto come elemento del $\pi _1(X)$.

Quindi arrivo a

$\pi _1(X) = = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} $.



Qualcuno saprebbe indicarmi se il ragionamento fatto
e` corretto ed eventualmente suggerirmi come correggere
gli errori, o una risoluzione alternativa?

Grazie!

[killing_buddha]

Fai un disegno e poi ne parliamo meglio.

[EtaBeta88]

Ok.



Ho rappresentato gli insiemi $X$, $A$, $B$ e $A \cap B$,
colorando (di diversi colori) i generatori dei vari $\pi _1$.

Non do la rappresentazione tridimensionale
dell'insieme $X$ perche` non riesco bene a visualizzarla.

Update: mi sembra che $X$ sia un toro con incollata una bottiglia
di Klein, e la 2-cella dove avviene l'incollamento "piena";
ma potrei sbagliare.

[EtaBeta88]

"EtaBeta88":

Allora tramite la mappa indotta dall'inclusione di $B$ in $X$ il generatore
$d$ viene mandato nell'elemento neutro del $\pi _1 (X)$ (perche` la mappa
e` un omomorfismo): per la commutativita` garantita dal teorema
di Van Kampen devo arrivare al neutro del $\pi _1 (X)$ anche seguendo
la mappa indotta dall'inclusione di $A$ in $X$.

Allora ho che $aba^{-1}b^{-1} = e$ visto come elemento del $\pi _1(X)$.

Quindi arrivo a

$\pi _1(X) = = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} $.

Mi accorgo ora di essermi scordata di trascrivere uno dei tre
generatori nell'espressione finale del $\pi _1$!

Il risultato corretto dovrebbe essere:

$\pi _1(X) = = (\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}) \star \mathbb{Z}$,

che e` quello che mi aspetterei dall'intuizione geometrica,
pensando ad $X$ come prodotto wedge di un toro ed una bottiglia di Klein.