Calcolo del $det A$ con 2 metodi, escono 2 risultati diversi
Ciao a tutti, quest'esercizio l'ho svolto con 2 metodi diversi, e mi vengono solo 2 risultati diversi. Aiutatemi a capire dove sbaglio nel primo metodo, siccome col secondo metodo il risultato del determinante mi viene giusto. Grazie in anticipo.
Calcolare il determinante della matrice \( A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} \)
ho provato a svolgere così
METODO 1 (Metodo eliminazione di Gauss)
ho provato a rendere la matrice A, a scalini e calcolarne il determinante
$ ( ( 1 , 1 , -1 ),( 0 , 1 , 1 ),( 1 , -1 , -1 ) )\to R3=R3-R1 \to ( ( 1 , 1 , -1 ),( 0 , 1 , 1 ),( 0 , -2 , 0 ) ) \to R3=1/2 R3+R2\to ( ( 1 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $
allora $|( 1 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , 1 ) |=1$
METODO 2 (utilizzando il metodo di Laplace, fissando la seconda riga)
$ A_22=+| ( 1 , -1 ),( 1 , -1 ) |=0; A_23=-| ( 1 , 1 ),( 1 , -1 ) | =-(-1-1)=2 $
allora $det A=1\cdot 0+1\cdot 2=2$
Ecco poi guardo la soluzione e mi dice che il determinante è 2, cioè mi è venuto giusto con Laplace, come mai col METODO 1, usando Gauss riducendo la matrice a scala il determinante non mi viene esatto?
Calcolare il determinante della matrice \( A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} \)
ho provato a svolgere così
METODO 1 (Metodo eliminazione di Gauss)
ho provato a rendere la matrice A, a scalini e calcolarne il determinante
$ ( ( 1 , 1 , -1 ),( 0 , 1 , 1 ),( 1 , -1 , -1 ) )\to R3=R3-R1 \to ( ( 1 , 1 , -1 ),( 0 , 1 , 1 ),( 0 , -2 , 0 ) ) \to R3=1/2 R3+R2\to ( ( 1 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $
allora $|( 1 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , 1 ) |=1$
METODO 2 (utilizzando il metodo di Laplace, fissando la seconda riga)
$ A_22=+| ( 1 , -1 ),( 1 , -1 ) |=0; A_23=-| ( 1 , 1 ),( 1 , -1 ) | =-(-1-1)=2 $
allora $det A=1\cdot 0+1\cdot 2=2$
Ecco poi guardo la soluzione e mi dice che il determinante è 2, cioè mi è venuto giusto con Laplace, come mai col METODO 1, usando Gauss riducendo la matrice a scala il determinante non mi viene esatto?
Risposte
Regole su come cambia il determinante nelle operazioni elementari di riga:
- Scambio di due righe: cambi un segno;
- Aggiungi a una riga il muliplodi un'altra riga: il determinante non cambia;
- Moltiplichi una riga per uno scalare non nullo: il determinante cambia del fattore corrispondente a quello scalare.
L'operazione $R_3 -> 1/2 R_3 + R_2$ si compone di un'operazione del terzo tipo (il prodotto per $1/2$) e di una del secondo tipo (l'aggiunta di R_2) perciò il determinante della matrice che ottieni dopo questa operazione è la metà del determinante della matrice iniziale.
- Scambio di due righe: cambi un segno;
- Aggiungi a una riga il muliplodi un'altra riga: il determinante non cambia;
- Moltiplichi una riga per uno scalare non nullo: il determinante cambia del fattore corrispondente a quello scalare.
L'operazione $R_3 -> 1/2 R_3 + R_2$ si compone di un'operazione del terzo tipo (il prodotto per $1/2$) e di una del secondo tipo (l'aggiunta di R_2) perciò il determinante della matrice che ottieni dopo questa operazione è la metà del determinante della matrice iniziale.
"Pappappero":
- Moltiplichi una riga per uno scalare non nullo: il determinante cambia del fattore corrispondente a quello scalare.
ah!..perchè io avevo imparato questa regola
"se gli elementi di una linea (riga o colonna) si sommano gli elementi di un'altra linea a essa parallela, tutti moltiplicati per uno stesso numero, il $det$ non cambia"
quindi non vale in questo caso!.. uff
, il metodo di Gauss l'ho ulizzerò per i sistemi e per il rango e mai più una riduzione a scala per calcolare il determinante! XD
Quella regola vale..ma te non hai aggiunto alla terza riga un multiplo della seconda. Tu hai aggiunto la seconda riga a metà della terza riga.
Il metodo di eliminazione di Gauss resta comunque la tecnica più veloce per calcolare il determinante (per intendersi, è quella che usano i computer). In genere negli esercizi difficilmente ti troverai a fare determinanti di matrici troppo grandi, ma già con matrici $4 \times 4$ o $5 \times 5$, se non ci sono zeri da sfruttare all'inizio, calcolare il determinante con Laplace è molto più laborioso rispetto a calcolarlo con il metodo di Gauss.
Il metodo di eliminazione di Gauss resta comunque la tecnica più veloce per calcolare il determinante (per intendersi, è quella che usano i computer). In genere negli esercizi difficilmente ti troverai a fare determinanti di matrici troppo grandi, ma già con matrici $4 \times 4$ o $5 \times 5$, se non ci sono zeri da sfruttare all'inizio, calcolare il determinante con Laplace è molto più laborioso rispetto a calcolarlo con il metodo di Gauss.
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