Calcolo degli autospazi

[Skuld]

$((3,0,2),(0,1,0),(6,0,4))$


calcolo gli autovalori :

$\lambda$ 1 = 0
$\lambda$ 2 =1
$\lambda$ 3 =7

i tre autovalori sono reali e distinti quinti è diagonalizzabile.

Il problema sorge nel momento in cui , devo andar a fare il sistema per trovare gli autospazi
e le conseguenti basi

Ad esempio , io imposto :

Per l'autovalore $\lambda$ = 7

pongo in matrice e risolvo il sistema che viene , in questo caso

$\{(-4x + 2z=0),(-6y = 0),(6x-3z=0):}$

in questo caso a me risultana l'autospazio tutto zero . mentre l'autspazio dovrebbe riuscire E(7) = L((1,0,2))


Qualcuno potrebbe aiutarmi ? Vedere dove sbaglio , credo di sbagliare nella risoluzione del sistema
ma non so . Non riesco a trovare comunque la soluzione eppure il procedimento è questo
, se fosse un errore di calcolo non lo ritroverei anche negli altri esercizi.

[cirasa]

Prova a risolvere meglio il sistema, ammette [tex]\infty^1[/tex] soluzioni. Non è vero che l'unica soluzione è quella nulla! Una delle tre equazioni è proporzionale ad un'altra e quindi può essere trascurata. Puoi scrivere così l'insieme delle soluzioni in funzione di un parametro reale.

[Skuld]

Potrebbe essere impostato così :

$\{(-4x + 2z=0),(-6y = 0),(3(-2x+z)):}$ quindi l'ultima riga sarebbe proporzionale alla prima... o sbaglio?

quindi risolvendo mi verrebbe

$\{(-4x =-2z),(y=0),(2(-z/2)-z=0):}$

$\{(x=-z/2z),(y=0),(-z-z=0):}$

$\{(x=-1),(y=0),(-2z):}$

Credo , potresti vedere dove sbaglio , se ho sbagliato qualcosa o se ho impostato male. Grazie

[cirasa]

$\{(-4x + 2z=0),(-6y = 0),(6x-3z=0):}$

Risolvo:

$\{(-4x =-2z),(y=0),(6x-3z=0):}$

$\{(z=2x),(y=0),(6x-6x=0):}$

In funzione di un parametro $t$ si ha:

$\{(x=t),(y=0),(z=2t):}$

Quindi tutte e sole le soluzioni del sistema (cioè tutti e soli i vettori dell'autospazio) sono nella forma $(t,0,2t)$ da cui ricavi facilmente una base dell'autospazio.
Se non è chiaro, chiedi pure

[Skuld]

abbastanza chiaro , mi sa che devo esercitarmi parecchio

Grazie

[Luc@s]

$\{(6x-3z =0),(y=0),(2x-z=0):}$

$\{(6x=6x),(y=0),(z=2x):}$

$\{(x=t),(y=0),(z=2t):}$

Quindi hai $t(1,0,2), t \in RR$

[Skuld]

Va bene

allora risolvendo per gli altri autovalori ottengo questo :

$\{(3x+2z=0),(y = 0),(6x+4z=0):}$


$\{(3x+2z=0),(y = 0),(2(3x+2z=0):}$


$\{(3x+2z=0),(y = 0),(3x+2z=0):}$


$\{(3x=-2z),(y = 0):}$

Quindi l'autospazio in questo caso risulta : E(0) = L(-2.0,3)

L'altro che è per l'autovalore 1 :


$\{(2x+2z=0),(6x+3z=0):}$


$\{(2x+2z=0),(3(2x+z=0):}$


e quindi..qui mi blocco

dovrebbe uscire (0,1,0)

quello che non capisco è come porre il parametro t

[mistake89]

beh hai risolto, questo sistema ammette soluzione se $x=y=0$ pertanto $y$ è libero di variare. Una soluzione è $(0,t,0)$ da cui la soluzione $(0,1,0)$

[franced]

"Skuld":

$\{(-4x + 2z=0),(-6y = 0),(6x-3z=0):}$

Osserva che la prima e la terza equazione sono proporzionali.
Se infatti moltiplichi la prima per $-3/2$ ottieni la terza.