Calcolo basi di jordan

[donmarino]

mi aiutate per favore a risolvere questa matrice di jordan?
la matrice di partenza è

[tex]\left( \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 2
\end{array} \right)[/tex]

ho trovato che l'autovalore è 1 con molteplicità algebrica 3 e geometrica 2, quindi i blocchi di jordan dovrebbero essere 2 ma nn riesco a trovare le basi. potete aiutarmi?


[mod="franced"]Ho scritto la matrice in Tex.[/mod]

[franced]

La matrice è

[tex]A = \left( \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 2
\end{array} \right)[/tex]

il polinomio caratteristico è [tex]p_A(\lambda) = - (\lambda^3 - 3\,\lambda^2 + 3\,\lambda - 1) = - (\lambda - 1)^3[/tex].
C'è un solo autovalore: [tex]\lambda = 1[/tex].

Ora consideriamo la matrice

[tex]N = A - 1 I = \left( \begin{array}{ccc}
0 & 0 & 1 \\
0 & -1 & -1 \\
0 & 1 & 1
\end{array} \right)[/tex]

[tex]N[/tex] è nilpotente in quanto il suo polinomio caratteristico è [tex]p_N(\lambda) = -\lambda^3[/tex];
poiché [tex]N^2 \neq 0[/tex] possiamo affermare che la forma di Jordan della matrice [tex]A[/tex] è

[tex]J = \left( \begin{array}{ccc}
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{array} \right)[/tex]

per trovare una (attenzione ci sono infinite soluzioni!) base di Jordan puioi prendere
un vettore che sta in [tex]ker(N^3) - ker(N^2)[/tex] e considerare le sue immagini tramite [tex]N[/tex] e tramite [tex]N^2[/tex].

Ad esempio puoi scegliere [tex]e_2 = (0,1,0)^T[/tex] ed ottenere così la base

[tex]\beta = \left\{ (1,0,0)^T \,;\, (0,-1,1)^T \,;\, (0,1,0)^T \right\}[/tex]

osserva che il vettore che hai scelto per primo va scritto per ultimo..

[donmarino]

ciao Franced, grazie molte per la tua risposta. anche io ero arrivato alla base che hai scritto tu, il problema purtroppo è che poi ho provato a fare il prodotto di [tex]A=UJU^{-1}[/tex] dove con U ho considerato la matrice ottenuta con le basi di jordan e non ho ottenuto la matrice A di partenza. sto sbagliando qualcosa?

[franced]

Io ho verificato in questo modo:

[tex]\left( \begin{array}{ccc}
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{array} \right)^{-1} \left( \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 2
\end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{array} \right)[/tex]

[donmarino]

Grazie, avevo sbagliato la moltiplicazione.

[franced]

Prego!