Calcolo base di spazio vettoriale
Ciao!
Sto leggendo le dispense "algebra lineare for dummies".
Non capisco come vengono calcolate le basi per gli spazi vettoriali dell'esempio 1.11 a pagina 11.
Gli spazi vettoriali sono \(\displaystyle V = \{(x,y,z) : x+y-z=0\} \), \(\displaystyle W = \{(x,y,z) : x-y=0\} \) e le rispettive basi sono \(\displaystyle B_V = {(-1,1,0),(1,0,1)} \), \(\displaystyle B_W = {(1,1,0),(0,0,1)} \).
Mi potete spiegare i passaggi per il calcolo delle basi a partire dall'equazione.
Grazie!
Poi non capisco un'altra cosa:
Consideriamo lo spazio vettoriale \(\displaystyle V \) dell'esempio.
Il vettore \(\displaystyle v = (1,1,-2) \) appartiene a \(\displaystyle V \) in quanto soddisfa l'equazione \(\displaystyle x+y-z=0 \), è corretto il ragionamento?
Per trovare le coordinate di \(\displaystyle v \) rispetto alla base \(\displaystyle B_V \), applico questo ragionamento:
\(\displaystyle \alpha (-1,1,0) + \beta (1,0,1) = (1,1,-2) \)
\(\displaystyle (-\alpha,\alpha,0) + (\beta,0,\beta) = (1,1,-2) \)
\(\displaystyle (-\alpha + \beta,\alpha,\beta) = (1,1,-2) \)
Confrontando membro a membro ricavo che \(\displaystyle \alpha = 1 \) e \(\displaystyle \beta = -2 \), ma anche che \(\displaystyle -\alpha + \beta = 1 \), che risulta impossibile.
Dove sbaglio?
Grazie ancora!
Sto leggendo le dispense "algebra lineare for dummies".
Non capisco come vengono calcolate le basi per gli spazi vettoriali dell'esempio 1.11 a pagina 11.
Gli spazi vettoriali sono \(\displaystyle V = \{(x,y,z) : x+y-z=0\} \), \(\displaystyle W = \{(x,y,z) : x-y=0\} \) e le rispettive basi sono \(\displaystyle B_V = {(-1,1,0),(1,0,1)} \), \(\displaystyle B_W = {(1,1,0),(0,0,1)} \).
Mi potete spiegare i passaggi per il calcolo delle basi a partire dall'equazione.
Grazie!
Poi non capisco un'altra cosa:
Consideriamo lo spazio vettoriale \(\displaystyle V \) dell'esempio.
Il vettore \(\displaystyle v = (1,1,-2) \) appartiene a \(\displaystyle V \) in quanto soddisfa l'equazione \(\displaystyle x+y-z=0 \), è corretto il ragionamento?
Per trovare le coordinate di \(\displaystyle v \) rispetto alla base \(\displaystyle B_V \), applico questo ragionamento:
\(\displaystyle \alpha (-1,1,0) + \beta (1,0,1) = (1,1,-2) \)
\(\displaystyle (-\alpha,\alpha,0) + (\beta,0,\beta) = (1,1,-2) \)
\(\displaystyle (-\alpha + \beta,\alpha,\beta) = (1,1,-2) \)
Confrontando membro a membro ricavo che \(\displaystyle \alpha = 1 \) e \(\displaystyle \beta = -2 \), ma anche che \(\displaystyle -\alpha + \beta = 1 \), che risulta impossibile.
Dove sbaglio?
Grazie ancora!
Risposte
Grazie mille!
Sì in effetti ho commesso un errore di distrazione, avrei dovuto (e intendevo) scrivere \(\displaystyle (1,1,2) \) anziché \(\displaystyle (1,1,-2) \).
Tornando invece al calcolo delle basi, volendo applicare il metodo anche a \(\displaystyle W \):
$ { ( x-y=0 ),( y=s ),( z=t ) :} rarr { ( x=s ),( y=s ),( z=t ) :} rarr [ ( x ),( y ),( z ) ] = s [ ( 1 ),( 1 ),( 0 ) ] + t [ ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ] $
È corretto?
Di primo acchito avrei posto \(\displaystyle z=0 \), poi per far tornare i conti ho posto \(\displaystyle z=t \), però non ne ho compreso appieno il significato.
Sì in effetti ho commesso un errore di distrazione, avrei dovuto (e intendevo) scrivere \(\displaystyle (1,1,2) \) anziché \(\displaystyle (1,1,-2) \).
Tornando invece al calcolo delle basi, volendo applicare il metodo anche a \(\displaystyle W \):
$ { ( x-y=0 ),( y=s ),( z=t ) :} rarr { ( x=s ),( y=s ),( z=t ) :} rarr [ ( x ),( y ),( z ) ] = s [ ( 1 ),( 1 ),( 0 ) ] + t [ ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ] $
È corretto?
Di primo acchito avrei posto \(\displaystyle z=0 \), poi per far tornare i conti ho posto \(\displaystyle z=t \), però non ne ho compreso appieno il significato.
Grazie mille! Ora è chiaro.
Continuando con la soluzione dell'esempio, viene chiesto di trovare una base di $V + W$ e una base di $V nn W$.
Nel primo caso utilizzo il metodo degli scarti successivi, ponendo $I = {b_1, b_2, b_3, b_4}$ dove $b_i$ sono i vettori delle basi trovate ($B_V = {b_1, b_2}$ e $B_W = {b_3, b_4}$).
$I_1 = I$
$b_2 !in L(b_1) rarr I_2 = I_1$
$b_3 !in L(b_1, b_2) rarr I_3 = I_2$
$b_4 in L(b_1, b_2, b_3) rarr I_4 = I_3 \/ {b_4}$
dove $L(...)$ rappresenta lo spazio generato dagli elementi tra parentesi.
Quindi $B_{V+W} = {b_1, b_2, b_3} = {(-1,1,0), (1,0,1), (1,1,0)}$ è una base dello spazio somma, $dim(V+W) = 3$.
Domanda: il metodo degli scarti successivi è l'unico che permette di giungere a questo risultato, o è possibile scartare i vettori dipendenti costruendo una matrice con tutti i vettori e riducendola per righe o per colonne?
Per quanto riguarda $V nn W$, metto a sistema le due equazioni e risolvo come nei casi singoli:
${ ( x+y-z = 0 ),( x-y=0 ):} rarr { ( x=t/2 ),( y=t/2 ),( z=t ):} rarr [ ( x ),( y ),( z ) ] = t [ ( 1/2 ),( 1/2 ),( 1 ) ]$
Quindi $B_{V nn W} = {(1/2,1/2,1)}$ è una base dello spazio intersezione (con $t=1$), $dim(V nn W) = 1$.
Trovo conferma dei risultati dalla formula di Grassmann.
Tutto corretto?
Grazie!
Continuando con la soluzione dell'esempio, viene chiesto di trovare una base di $V + W$ e una base di $V nn W$.
Nel primo caso utilizzo il metodo degli scarti successivi, ponendo $I = {b_1, b_2, b_3, b_4}$ dove $b_i$ sono i vettori delle basi trovate ($B_V = {b_1, b_2}$ e $B_W = {b_3, b_4}$).
$I_1 = I$
$b_2 !in L(b_1) rarr I_2 = I_1$
$b_3 !in L(b_1, b_2) rarr I_3 = I_2$
$b_4 in L(b_1, b_2, b_3) rarr I_4 = I_3 \/ {b_4}$
dove $L(...)$ rappresenta lo spazio generato dagli elementi tra parentesi.
Quindi $B_{V+W} = {b_1, b_2, b_3} = {(-1,1,0), (1,0,1), (1,1,0)}$ è una base dello spazio somma, $dim(V+W) = 3$.
Domanda: il metodo degli scarti successivi è l'unico che permette di giungere a questo risultato, o è possibile scartare i vettori dipendenti costruendo una matrice con tutti i vettori e riducendola per righe o per colonne?
Per quanto riguarda $V nn W$, metto a sistema le due equazioni e risolvo come nei casi singoli:
${ ( x+y-z = 0 ),( x-y=0 ):} rarr { ( x=t/2 ),( y=t/2 ),( z=t ):} rarr [ ( x ),( y ),( z ) ] = t [ ( 1/2 ),( 1/2 ),( 1 ) ]$
Quindi $B_{V nn W} = {(1/2,1/2,1)}$ è una base dello spazio intersezione (con $t=1$), $dim(V nn W) = 1$.
Trovo conferma dei risultati dalla formula di Grassmann.
Tutto corretto?
Grazie!
Un secondo metodo per determinare una base di $ V + W $ consiste nello scrivere in maniera esplicita chi sono i suoi elementi:
$ V + W = \{ \mathbf{v} + \mathbf{w} : \mathbf{v} \in V, \mathbf{w} \in W \} $
Poiché conosci una base di $ V $ ed una base di $ W $, puoi scrivere ciascuno dei due vettori $ \mathbf{v} $ e $ \mathbf{w} $ come combinazioni lineari:
$ \mathbf{v} + \mathbf{w} = \alpha (-1,1,0) + \beta (1,0,1) + \gamma (1,1,0) + \delta (0,0,1) $
Osservando che $ (0,0,1) = \frac{1}{2} (-1,1,0) + (1,0,1) -\frac{1}{2} (1,1,0) $, concludi che ogni vettore di $ V + W $ si scrive così:
$ \mathbf{v} + \mathbf{w} = a (-1,1,0) + b (1,0,1) + c (1,1,0) $
E quindi i vettori $ (-1,1,0) $, $ (1,0,1) $ e $ (1,1,0) $ generano $ V + W $; essendo anche linearmente indipendenti (per verificarlo basta calcolare il determinante della matrice le cui colonne corrispondono alle loro componenti), concludi che $ \{(-1,1,0),(1,0,1),(1,1,0)\} $ è una base di $ V + W $ e che $ \dim V + W = 3 $.
$ V + W = \{ \mathbf{v} + \mathbf{w} : \mathbf{v} \in V, \mathbf{w} \in W \} $
Poiché conosci una base di $ V $ ed una base di $ W $, puoi scrivere ciascuno dei due vettori $ \mathbf{v} $ e $ \mathbf{w} $ come combinazioni lineari:
$ \mathbf{v} + \mathbf{w} = \alpha (-1,1,0) + \beta (1,0,1) + \gamma (1,1,0) + \delta (0,0,1) $
Osservando che $ (0,0,1) = \frac{1}{2} (-1,1,0) + (1,0,1) -\frac{1}{2} (1,1,0) $, concludi che ogni vettore di $ V + W $ si scrive così:
$ \mathbf{v} + \mathbf{w} = a (-1,1,0) + b (1,0,1) + c (1,1,0) $
E quindi i vettori $ (-1,1,0) $, $ (1,0,1) $ e $ (1,1,0) $ generano $ V + W $; essendo anche linearmente indipendenti (per verificarlo basta calcolare il determinante della matrice le cui colonne corrispondono alle loro componenti), concludi che $ \{(-1,1,0),(1,0,1),(1,1,0)\} $ è una base di $ V + W $ e che $ \dim V + W = 3 $.
Ciao e grazie mille per la risposta!
In pratica il tuo metodo è uguale a quello degli scarti successivi che ho utilizzato io.
Mentre, continuando a leggere le dispense "algebra lineare for dummies", ho trovato il metodo con riduzione di matrice (pagina 21). Le dispense illustrano tre soluzioni:
[list=a][*:36dqs829]si riduce la matrice per colonne
[/*:m:36dqs829]
[*:36dqs829]si riduce la matrice per righe e si tengono le colonne della matrice originale corrispondenti ai pivot della matrice ridotta
[/*:m:36dqs829]
[*:36dqs829]si traspone la matrice e si riduce per righe la trasposta[/*:m:36dqs829][/list:o:36dqs829]
Applico quando detto all'esempio, cerco cioè una base per $V+W$.
Innanzi tutto scrivo la matrice (la chiamo $A$):
$A = [(b_1,b_2,b_3,b_4)] = [ ( -1 , 1 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 1 ) ]$
[list=a][*:36dqs829]le dispense suggeriscono di non utilizzare questa soluzione e non ne mostrano un esempio
[/*:m:36dqs829]
[*:36dqs829]riduco $A$ per righe:
$[ ( -1 , 1 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 1 ) ] {: ( . ),( II + I ),( . ) :} [ ( -1 , 1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 2 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 1 ) ] {: ( . ),( . ),( III - II ) :} [ ( -1 , 1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , -2 , 1 ) ]$
mantengo solo le colonne di $A$ che corrispondono ai pivot della matrice ridotta, perciò una base per $V+W$ è data dai vettori ${b_1,b_2,b_3}$, lo stesso risultato ottenuto con il metodo degli scarti successivi.
[/*:m:36dqs829]
[*:36dqs829]traspongo $A$:
$A^T = [ ( -1 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ),( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ]$
riduco $A^T$ per righe:
$[ ( -1 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ),( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ] {: ( . ),( II + I ),( III + I ),( . ) :} [ ( -1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 1 ),( 0 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ] {: ( . ),( . ),( 1/2 III - II ),( . ) :} [ ( -1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , -1 ),( 0 , 0 , 1 ) ] {: ( . ),( . ),( . ),( IV + III ) :} [ ( -1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , -1 ),( 0 , 0 , 0 ) ]$
le righe non nulle della trasposta ridotta (scritte in colonna) sono una base per $V+W$, cioè:
$B_{V+W} = ~ \{ [ ( -1 ),( 1 ),( 0 ) ] , [ ( 0 ),( 1 ),( 1 ) ] , [ ( 0 ),( 0 ),( -1 ) ] ~ \}$
trovo quindi una base diversa rispetto a quella dei casi precedenti.[/*:m:36dqs829][/list:o:36dqs829]
Quanto ho scritto è corretto?
Grazie!
In pratica il tuo metodo è uguale a quello degli scarti successivi che ho utilizzato io.
Mentre, continuando a leggere le dispense "algebra lineare for dummies", ho trovato il metodo con riduzione di matrice (pagina 21). Le dispense illustrano tre soluzioni:
[list=a][*:36dqs829]si riduce la matrice per colonne
[/*:m:36dqs829]
[*:36dqs829]si riduce la matrice per righe e si tengono le colonne della matrice originale corrispondenti ai pivot della matrice ridotta
[/*:m:36dqs829]
[*:36dqs829]si traspone la matrice e si riduce per righe la trasposta[/*:m:36dqs829][/list:o:36dqs829]
Applico quando detto all'esempio, cerco cioè una base per $V+W$.
Innanzi tutto scrivo la matrice (la chiamo $A$):
$A = [(b_1,b_2,b_3,b_4)] = [ ( -1 , 1 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 1 ) ]$
[list=a][*:36dqs829]le dispense suggeriscono di non utilizzare questa soluzione e non ne mostrano un esempio
[/*:m:36dqs829]
[*:36dqs829]riduco $A$ per righe:
$[ ( -1 , 1 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 1 ) ] {: ( . ),( II + I ),( . ) :} [ ( -1 , 1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 2 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 1 ) ] {: ( . ),( . ),( III - II ) :} [ ( -1 , 1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , -2 , 1 ) ]$
mantengo solo le colonne di $A$ che corrispondono ai pivot della matrice ridotta, perciò una base per $V+W$ è data dai vettori ${b_1,b_2,b_3}$, lo stesso risultato ottenuto con il metodo degli scarti successivi.
[/*:m:36dqs829]
[*:36dqs829]traspongo $A$:
$A^T = [ ( -1 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ),( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ]$
riduco $A^T$ per righe:
$[ ( -1 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ),( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ] {: ( . ),( II + I ),( III + I ),( . ) :} [ ( -1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 1 ),( 0 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ] {: ( . ),( . ),( 1/2 III - II ),( . ) :} [ ( -1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , -1 ),( 0 , 0 , 1 ) ] {: ( . ),( . ),( . ),( IV + III ) :} [ ( -1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , -1 ),( 0 , 0 , 0 ) ]$
le righe non nulle della trasposta ridotta (scritte in colonna) sono una base per $V+W$, cioè:
$B_{V+W} = ~ \{ [ ( -1 ),( 1 ),( 0 ) ] , [ ( 0 ),( 1 ),( 1 ) ] , [ ( 0 ),( 0 ),( -1 ) ] ~ \}$
trovo quindi una base diversa rispetto a quella dei casi precedenti.[/*:m:36dqs829][/list:o:36dqs829]
Quanto ho scritto è corretto?
Grazie!
Grazie mille per la risposta Sergio!
Ho provato a fare come mi hai suggerito (esprimere gli elementi di una base come combinazione lineare degli elementi dell'altra e viceversa) e i conti tornano.
Ho provato a fare come mi hai suggerito (esprimere gli elementi di una base come combinazione lineare degli elementi dell'altra e viceversa) e i conti tornano.
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