Calcolo base

[Shika93]

Ho un problema con questo sottospazio:

$U={u=(x,y,z,t) \inRR^4 ! x-2y+3z=z-t=0}$
Devo determinare la base di $U^\bot$

Ho prima determinato la base di U

$\{(x=2y-3z),(z=t):}$ quindi la base sarà ${((2),(1),(0),(0)),((-3),(0),(1),(1))}$

Poi determinato le equazioni di $U^\bot$ come $$ $=$ $$ $=0$ dove $u_1,u_2$ sono i due vettori della base e $W=(x,y,z,t)$

Quindi $U^\bot={(x,y,z,t)\inRR^4|3x-z-t=2x+y=0}$ e infine la base $\{(x=-2y),(z=3x-t):}$ $B={((1),(-2),(3),(0)),((0),(0),(-1),(1))}$
mentre nella soluzione non torna il secondo vettore. Li mi dice che è $B={((1),(-2),(3),(0)),((1),(-2),(0),(3))}$

Cosa sbaglio?

[Frink1]

Sei certo che sia sbagliato? Devi controllare che la dimensione dello spazio generato dai tuoi due vettori e da quello diverso dal tuo che risulta nella soluzione sia diversa da 3. Allora avrai trovato un vettore diverso ma che genera lo stesso sottospazio: è esattamente il tuo caso.

[Shika93]

Perchè diverso da 3? $U$ ha dimensione 2, $U^\bot$ ha dimensione $dim\RR^4-dimU=2$

So che in generale i vettori di una base non sono unici, ma siccome mi veniva un vettore uguale alla soluzione e l'altro no, pensavo avessi fatto qualche errore io nel calcolare. Se così fosse, avrei sempre dimensione 2 ma un vettore sbagliato.

Comunque sia, se mi dici che è corretto, non mi preoccupo.

[Frink1]

Chiamiamo $V$ il sottospazio generato dai vettori $(1,-2,3,0),(1,2,0,3),(0,0,-1,1)$. Se il sottospazio ha dimensione $3$, significa che i vettori sono linearmente indipendenti, e quindi che i sottospazi generati da $(1,-2,3,0),(1,2,0,3)$ e da $(1,-2,3,0),(0,0,-1,1)$ sono diversi. Perché siano uguali, dobbiamo avere che $(0,0,-1,1)$ sia combinazione lineare degli altri due $->$ il sottospazio $V$ che generano abbia dimensione $2$. Ecco tutto.

Non limitarti ad accettare, ma assimila bene il concetto: lo si usa dappertutto!

[Shika93]

Ho capito ora è chiaro. Grazie mille!