Calcolo Autovettori e diagonalizzabilità
Salve a tutti, ho incontrato un esercizio che mi ha messo in difficoltà, mi potreste aiutare?
Il testo è:
Determinare per quali valori di k (appartenente ad R) l'operatore T:R^3 --> R^3 rappresentato dalla matrice:
k 1 2
1 k k
0 0 1
è diagonalizzabile oppure no.
Grazie dell'attenzione.
Il testo è:
Determinare per quali valori di k (appartenente ad R) l'operatore T:R^3 --> R^3 rappresentato dalla matrice:
k 1 2
1 k k
0 0 1
è diagonalizzabile oppure no.
Grazie dell'attenzione.
Risposte
quali difficoltà hai incontrato? è standard come esercizio
Fino ad oggi avevo incontato solo esercizi senza parametri per il calcolo di autovalori.
Ho calcolato il polinomio caratteristico di T, che salvo errori di calcolo dovrebbe essere:
$-lambda^3 + ( 2k+1)lambda^2 + (1- 2k - k^2)lambda + (k^2 -1)=0
Per tentativi ho trovato che $lambda=1
è un autovalore qualunque sia $k in RR.
Uso la regola di Ruffini e ottengo:
$lambda^2 - 2klambda - (1+2k)=0
Qui mi sono scoraggiato un pò trovando una equazione in due incognite.
Ho provato a trovare le soluzioni in funzione di k. E ho trovato il delta in funzione di k. (un'altra equazione di secondo grado)
Mi sono fermato pensando che avevo scritto una pagina di stupidaggini...
Come dovrei impostare il problema?
Ho calcolato il polinomio caratteristico di T, che salvo errori di calcolo dovrebbe essere:
$-lambda^3 + ( 2k+1)lambda^2 + (1- 2k - k^2)lambda + (k^2 -1)=0
Per tentativi ho trovato che $lambda=1
è un autovalore qualunque sia $k in RR.
Uso la regola di Ruffini e ottengo:
$lambda^2 - 2klambda - (1+2k)=0
Qui mi sono scoraggiato un pò trovando una equazione in due incognite.
Ho provato a trovare le soluzioni in funzione di k. E ho trovato il delta in funzione di k. (un'altra equazione di secondo grado)
Mi sono fermato pensando che avevo scritto una pagina di stupidaggini...
Come dovrei impostare il problema?
"valium":
Fino ad oggi avevo incontato solo esercizi senza parametri per il calcolo di autovalori.
Ho calcolato il polinomio caratteristico di T, che salvo errori di calcolo dovrebbe essere:
$-lambda^3 + ( 2k+1)lambda^2 + (1- 2k - k^2)lambda + (k^2 -1)=0
Per tentativi ho trovato che $lambda=1
è un autovalore qualunque sia $k in RR.
Uso la regola di Ruffini e ottengo:
$lambda^2 - 2klambda - (1+2k)=0
Qui mi sono scoraggiato un pò trovando una equazione in due incognite.
Ho provato a trovare le soluzioni in funzione di k. E ho trovato il delta in funzione di k. (un'altra equazione di secondo grado)
Mi sono fermato pensando che avevo scritto una pagina di stupidaggini...
Come dovrei impostare il problema?
Senza fare calcoli si vede chiaramente che $lambda=1$ è autovalore:
basta vedere la matrice trasposta, nella quale l'ultima colonna è $(0,0,1)$.
Ricordatevi che $A$ e $A^T$ hanno la stessa forma di Jordan.
A volte può essere utile guardare la trasposta dell matrice in gioco..
A volte può essere utile guardare la trasposta dell matrice in gioco..
bhe grazie...ma poi come continuo?
vi sembrerà strano...ma nei libri da cui sto studiando credo di non aver visto da nessuna parte qualcosa con il nome "forma di Jordan" o almeno non la chiamano così! Di certo per essere in quel testo questo esercizio dovrebbe essere risolto anche senza queste osservazioni...come?
Guarda che la mia non è un'osservazione da quattro soldi, può far risparmiare un
sacco di tempo e di calcoli!
sacco di tempo e di calcoli!
"valium":
Fino ad oggi avevo incontato solo esercizi senza parametri per il calcolo di autovalori.
Ho calcolato il polinomio caratteristico di T, che salvo errori di calcolo dovrebbe essere:
$-lambda^3 + ( 2k+1)lambda^2 + (1- 2k - k^2)lambda + (k^2 -1)=0
Per tentativi ho trovato che $lambda=1
è un autovalore qualunque sia $k in RR.
Uso la regola di Ruffini e ottengo:
$lambda^2 - 2klambda - (1+2k)=0
Qui mi sono scoraggiato un pò trovando una equazione in due incognite.
Ho provato a trovare le soluzioni in funzione di k. E ho trovato il delta in funzione di k. (un'altra equazione di secondo grado)
Mi sono fermato pensando che avevo scritto una pagina di stupidaggini...
Come dovrei impostare il problema?
Ma scusami, come hai calcolato il polinomio caratteristico?
E' già fattorizzato di suo, perché l'ultima riga è tutta nulla tranne che nel posto $(3,3)$.
In pratica ti resta da calcolare il polinomio caratteristico della matrice $2 times2$ in alto a sinistra.
Da notare che il sottospazio generato dai primi due vettori della base canonica è invariante
per questa trasformazione.
Il polinomio caratteristico viene:
$((k-lambda)^2-1) cdot (1-lambda) = 0$
lo vedi, è già fattorizzato!
Che fai, moltiplichi e poi rifattorizzi?
Forse non hai svolto il determinante lungo l'ultima riga..
$((k-lambda)^2-1) cdot (1-lambda) = 0$
lo vedi, è già fattorizzato!
Che fai, moltiplichi e poi rifattorizzi?
Forse non hai svolto il determinante lungo l'ultima riga..
A me il polinomio caratteristico viene:
$q(\lambda) = det[(k - \lambda, 1, 2 ), (1, k -\lambda, k), (0, 0, 1-\lambda)] =$(uso la prima colonna)
$= (k - \lambda) (k - \lambda) (1- \lambda) - (1-\lambda) = (1- \lambda) (k^2 - 2k \lambda + \lambda^2 -1)=$
$= (1- \lambda ) (\lambda^2 - 2k \lambda + k^2 -1) $
$\Delta = 4k^2 - 4(k^2 -1)=4$
$\lambda_1 = k+1 $, $\lambda_2 = k-1$
Perciò gli autovalori sono $k+1, k-1, 1$.
Paola
$q(\lambda) = det[(k - \lambda, 1, 2 ), (1, k -\lambda, k), (0, 0, 1-\lambda)] =$(uso la prima colonna)
$= (k - \lambda) (k - \lambda) (1- \lambda) - (1-\lambda) = (1- \lambda) (k^2 - 2k \lambda + \lambda^2 -1)=$
$= (1- \lambda ) (\lambda^2 - 2k \lambda + k^2 -1) $
$\Delta = 4k^2 - 4(k^2 -1)=4$
$\lambda_1 = k+1 $, $\lambda_2 = k-1$
Perciò gli autovalori sono $k+1, k-1, 1$.
Paola
"prime_number":
A me il polinomio caratteristico viene:
$q(\lambda) = det[(k - \lambda, 1, 2 ), (1, k -\lambda, k), (0, 0, 1-\lambda)] =$(uso la prima colonna)
$= (k - \lambda) (k - \lambda) (1- \lambda) - (1-\lambda) = (1- \lambda) (k^2 - 2k \lambda + \lambda^2 -1)=$
$= (1- \lambda ) (\lambda^2 - 2k \lambda + k^2 -1) $
$\Delta = 4k^2 - 4(k^2 -1)=4$
$\lambda_1 = k+1 $, $\lambda_2 = k-1$
Perciò gli autovalori sono $k+1, k-1, 1$.
Paola
Scusa si fa prima sviluppando secondo l'ultima riga!
Ottieni
$((k-lambda)^2-1) cdot (1-lambda) = 0$
da cui:
$(k - lambda)^2 - 1 = 0$ e $1 - lambda = 0 rightarrow lambda = 1$
la prima la risolvi così, senza sviluppare il quadrato:
$k-lambda = pm 1 rightarrow lambda = k pm 1$
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