Calcolo autovettori

[lollonwe]

Buongiorno a tutti, il mio quesito è di geometria, ma in realtà deriva da un esercizio di calcolo, che ho deciso di svolgere manualmente:
data la matrice $A=[1+\eps*\cos({2}/{ \eps}) \\ -\eps*\sin({2}/ {\eps});\\ -\eps*\sin({2}/ {\eps}) \\ 1-\eps*\cos({2}/{ \eps})]$
è una 2*2 in cui gli elementi sono separati da una \, non sono riuscita a fare altrimenti (scusate).
eps è un valore che tende a zero.
Di questa matrice vorrei calcolare gli autovalori e gli autovettori:
facendo i conti a mano ho trovato con autovalori: $1+\eps$ e $1-\eps$, e credo che vadano bene.
Per calcolare gli autovettori ho fatto due sistemi, in cui una volta ho sostituito il primo autovalore e una volta il secondo;
in ogni sistema ottengo però un'equazione indeterminata... cosa posso concludere?
ringrazio in anticipo chi mi risponderà

[garnak.olegovitc1]

Salve stellinax86,

"stellinax86":Buongiorno a tutti, il mio quesito è di geometria, ma in realtà deriva da un esercizio di calcolo, che ho deciso di svolgere manualmente:
data la matrice $A=[1+\eps*\cos({2}/{ \eps}) \\ -\eps*\sin({2}/ {\eps});\\ -\eps*\sin({2}/ {\eps}) \\ 1-\eps*\cos({2}/{ \eps})]$
è una 2*2 in cui gli elementi sono separati da una \, non sono riuscita a fare altrimenti (scusate).
eps è un valore che tende a zero.
Di questa matrice vorrei calcolare gli autovalori e gli autovettori:
facendo i conti a mano ho trovato con autovalori: $1+\eps$ e $1-\eps$, e credo che vadano bene.
Per calcolare gli autovettori ho fatto due sistemi, in cui una volta ho sostituito il primo autovalore e una volta il secondo;
in ogni sistema ottengo però un'equazione indeterminata... cosa posso concludere?
ringrazio in anticipo chi mi risponderà

la tua matrice è questa:

$A=[(1+\eps*\cos({2}/{ \eps}) , -\eps*\sin({2}/ {\eps})) , (-\eps*\sin({2}/ {\eps}) , 1-\eps*\cos({2}/{ \eps}))]$

???

Cordiali saluti

[lollonwe]

esattamente.... grazie per il supporto!

[Palliit]

Sicuramente cercando gli autovettori trovi un sistema indeterminato: in primo luogo perchè l'autovalore è appunto quello per cui il determinante di $A-lambdaI$ è zero, per cui è chiaro che il sistema $(A-lambdaI)v=0$ è indeterminato; in secondo luogo, se l'equazione $Av=lambda v$ vale per un certo $v$, allora vale anche per qualsiasi multiplo $kv$, che è come dire che l'autovettore non è unico, ma è qualsiasi vettore parallelo a una data direzione. Ne determini uno (a tua scelta) dando al/ai parametro/i libero/i del sistema un valore scelto in modo arbitrario, col solo vincolo che il vettore che risulti non sia nullo, e possibilmente in modo che le componenti dell'autovettore siano poi quantità comode da trattare in caso di successivi sviluppi.

P.S.: Credo che avresti dovuto postare in un'altra sezione, Geometria e Algebra Lineare...

[lollonwe]

Quindi in corrispondenza di entrambi gli autovalori: $1+\eps$ e $1-\eps$ ho l'autovettore che ha le seguenti componenti:la prima è: $1$, la seconda è: $ \frac{1+\cos (\frac{2}{\eps})}{\sin (\frac{2}{\eps}) }$. è giusto? ho posto il parametro uguale a 1.
Grazie...

[lollonwe]

Mi correggo.. quelle che scritto sono le componenti del primo autovettore, il secondo ha componenti: $1$ e $\frac{-1+\cos(\frac{2}{\eps})}{\sen(\frac{2}{\eps})}$.