Calcolo autovettori
Ciao a tutti
ho questo sistema di equazioni differenziali
$y' = Ay$
con [tex]A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}[/tex]
devo ovviamente trovare l'insieme delle soluzioni del sistema
da sempre trovo gli autovalori della matrice $A$ che a me risultano [tex]\lambda_{1,2,3} = 2[/tex]
per trovare il primo autovettore, se non ho sbagliato i calcoli ho
$ { ( 3x-y=2x ),( x+y-z=2y ),( 2z=2z ):} $ [tex]\Rightarrow[/tex] $ { ( x=y ),( z=2x ):} $ [tex]\Rightarrow g_{1} =\begin{pmatrix} t \\ t \\ 2t \end{pmatrix} \Rightarrow v_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}[/tex]
il problema mi nasce nel calcolare gli altri due autovettori
per quanto ne so devo porre il sistema iniziale pari all'autovettore appena ottenuto quindi
$ { ( 3x-y=1 ),( x+y-z=1 ),( 2z=2 ):} $ [tex]\Rightarrow[/tex] $ { ( y=2-x ),( z=1 ):} $ [tex]\Rightarrow g_{2} =\begin{pmatrix} t \\ 2-t \\ 1 \end{pmatrix}[/tex]
e qui ho il mio dubbio...
non dovrei ritrovarmi con il primo autovettore sommato a qualcosa il cui "qualcosa" è il secondo autovettore che sto cercando?
cosa sbaglio?
grazie a tutti
ho questo sistema di equazioni differenziali
$y' = Ay$
con [tex]A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}[/tex]
devo ovviamente trovare l'insieme delle soluzioni del sistema
da sempre trovo gli autovalori della matrice $A$ che a me risultano [tex]\lambda_{1,2,3} = 2[/tex]
per trovare il primo autovettore, se non ho sbagliato i calcoli ho
$ { ( 3x-y=2x ),( x+y-z=2y ),( 2z=2z ):} $ [tex]\Rightarrow[/tex] $ { ( x=y ),( z=2x ):} $ [tex]\Rightarrow g_{1} =\begin{pmatrix} t \\ t \\ 2t \end{pmatrix} \Rightarrow v_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}[/tex]
il problema mi nasce nel calcolare gli altri due autovettori
per quanto ne so devo porre il sistema iniziale pari all'autovettore appena ottenuto quindi
$ { ( 3x-y=1 ),( x+y-z=1 ),( 2z=2 ):} $ [tex]\Rightarrow[/tex] $ { ( y=2-x ),( z=1 ):} $ [tex]\Rightarrow g_{2} =\begin{pmatrix} t \\ 2-t \\ 1 \end{pmatrix}[/tex]
e qui ho il mio dubbio...
non dovrei ritrovarmi con il primo autovettore sommato a qualcosa il cui "qualcosa" è il secondo autovettore che sto cercando?
cosa sbaglio?
grazie a tutti
Risposte
Se studio il polinomio caratteristico ho $p(t)=(t-2)^3=0$ da cui ricavo, come dici tu $t=2$ come autovalore con molteplicità algebrica 3. Ora se voglio studiare l'autospazio relativo all'autovalore 2, cioè $A(f,2)$ so che le sue equazioni sono individuate dal sistema omogeneo $(A-2I)X=0$ con $X=(x,y,z)$ vettore colonna delle generiche incognite. Facendo il prodotto righe per colonne ricavo il sistema:
${(x-y=0),(x-y-z=0),(z=0):} => {(x-y=0),(z=0):} => S={(x,x,0)|x in RR} => A(f,2)=[((1,1,0))]$
Spero di essere stato utile...
${(x-y=0),(x-y-z=0),(z=0):} => {(x-y=0),(z=0):} => S={(x,x,0)|x in RR} => A(f,2)=[((1,1,0))]$
Spero di essere stato utile...
Quindi le soluzioni sarebbero $(ke^(2x),ke^(2x),0)$
giusto ?
giusto ?
Ti dico la verità non ho mai affrontato lo studio dei sistemi di equazioni differenziali utilizzando gli autovalori (anche se leggendo qualcosa penso che sia interessante). Ho risposto solo in merito alla ricerca degli autovettori che è un argomento di geometria...se vuoi aggiungere tu qualcosa non mi dispiacerebbe ^_^
Avevo in effetti sbagliato dei conti
ovviamente per trovare gli autovettori relativi a $lambda$ le formulazioni
$Ax=lambdax$ oppure $(A-lambda I)x=0$ sono equivalenti
L'autospazio in effetti mi torna e quindi il primo autovettore è
$v_1 = ( ( 1 ),( 1 ),( 0 ) )$
ora però credo di aver bisogno di altri due autovalori linearmente indipendenti per poter risolvere il sistema
applicando però la tua formulazione i conti mi tornano
infatti per trovare il secondo autovettore pongo
$(A-lambda I)x=v_1$ che mi da
${ ( x-y=1 ),( x-y-z=1 ),( 0=0 ):} $ [tex]\Rightarrow[/tex] ${ ( y=x-1 ),( z=0 ):} $ [tex]\Rightarrow[/tex] $( ( t ),( t-1 ),( 0 ) ) = t( ( 1 ),( 1 ),( 0 ) ) + ( ( 0 ),( -1 ),( 0 ) )$
dove
$v_2 = ( ( 0 ),( -1 ),( 0 ) ) $ che è proprio il secondo autovettore che cercavo
per trovare il terzo faccio lo stesso procedimento e trovo
$v_3 = ( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) $
credo, ma non sono sicuro, che sarebbe bastato anche fare il prodotto vettoriale del primo autovettore con il secondo per trovarne un terzo ma non ci giurerei
facendolo avrei
$( ( 1 ),( 1 ),( 0 ) ) \times ( ( 0 ),( -1 ),( 0 ) ) = ( ( 0 ),( 0 ),( -1 ) )$
che poi è lo stesso autovettore trovato prima solo che è orientato nella direzione opposta
è corretto?
ovviamente per trovare gli autovettori relativi a $lambda$ le formulazioni
$Ax=lambdax$ oppure $(A-lambda I)x=0$ sono equivalenti
L'autospazio in effetti mi torna e quindi il primo autovettore è
$v_1 = ( ( 1 ),( 1 ),( 0 ) )$
ora però credo di aver bisogno di altri due autovalori linearmente indipendenti per poter risolvere il sistema
applicando però la tua formulazione i conti mi tornano
infatti per trovare il secondo autovettore pongo
$(A-lambda I)x=v_1$ che mi da
${ ( x-y=1 ),( x-y-z=1 ),( 0=0 ):} $ [tex]\Rightarrow[/tex] ${ ( y=x-1 ),( z=0 ):} $ [tex]\Rightarrow[/tex] $( ( t ),( t-1 ),( 0 ) ) = t( ( 1 ),( 1 ),( 0 ) ) + ( ( 0 ),( -1 ),( 0 ) )$
dove
$v_2 = ( ( 0 ),( -1 ),( 0 ) ) $ che è proprio il secondo autovettore che cercavo
per trovare il terzo faccio lo stesso procedimento e trovo
$v_3 = ( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) $
credo, ma non sono sicuro, che sarebbe bastato anche fare il prodotto vettoriale del primo autovettore con il secondo per trovarne un terzo ma non ci giurerei
facendolo avrei
$( ( 1 ),( 1 ),( 0 ) ) \times ( ( 0 ),( -1 ),( 0 ) ) = ( ( 0 ),( 0 ),( -1 ) )$
che poi è lo stesso autovettore trovato prima solo che è orientato nella direzione opposta
è corretto?
Il vettore \(\displaystyle t\begin{pmatrix} 1\\1\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\-1\\0 \end{pmatrix} \) è il cosiddetto "autovettore generalizzato" e conta per due.A questo punto hai la base per rappresentare la soluzione generale.
Dette A e B due costanti generiche,essa soluzione è data da:
\(\displaystyle \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix}=Ae^{2t}\begin{pmatrix} 1\\1\\0\end{pmatrix}+Be^{2t} \left (t\begin{pmatrix}1\\1\\0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\-1\\0 \end{pmatrix}\right)\)
Esplicitando si ha:
\(\displaystyle \begin{cases}x=Ae^{2t}+Bte^{2t}\\y=(A-B)e^{2t}+Bte^{2t}\\z=0 \end{cases}\)
Dette A e B due costanti generiche,essa soluzione è data da:
\(\displaystyle \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix}=Ae^{2t}\begin{pmatrix} 1\\1\\0\end{pmatrix}+Be^{2t} \left (t\begin{pmatrix}1\\1\\0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\-1\\0 \end{pmatrix}\right)\)
Esplicitando si ha:
\(\displaystyle \begin{cases}x=Ae^{2t}+Bte^{2t}\\y=(A-B)e^{2t}+Bte^{2t}\\z=0 \end{cases}\)
Ottimo, grazie
questa mi mancava
questa mi mancava
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