Calcolo autovettori

[andros1]

Buonasera,
devo trovare gli autovalori e autovettori della matrice
$M= ((cos\theta ,sin\theta),(sin\theta,-cos\theta))$.
con $\theta$ parametro fissato. Gli autovalori che ho trovato sono $+1$ e $-1$ e fin qui ci siamo.Per trovare gli autovalori risolvo (considerando l'autovalore $+1$):

$((cos\theta - 1 ,sin\theta),(sin\theta,-cos\theta - 1)) ((x),(y)) =0 $.

ovvero

$\{((cos\theta - 1)x + (sin\theta)y = 0),((sin\theta)x - (cos\theta + 1)y = 0):}$

e trovo (isolando $x$ dalla prima, sostituendola nella seconda e raccogliendo $y$) $x=y=0$ e invece la soluzione dell' esercizio dice $x= cos(\theta/2), y=sin(\theta/2)$.
Dove sbaglio ?

[achille_lauro1]

Forse è riportato un errore di stampa nella scrittura della soluzione. Magari potrebbe essere x = cos(pi greco mezzi) e y = sin(pi greco mezzi)

[andros1]

Non credo: la soluzione data soddisfa l'equazione quindi è corretta.
Inoltre ci sono motivazioni fisiche dietro il problema che la giustidicano.

[antofilo-votailprof]

Provo a risponderti io, solo che sono lento a scrivere con le formule.. mi devo ancora abituare.
Allora.
Sappiamo che ogni matrice ortogonale in $R^2$ è del tipo:
$R=((cosθ,sinθ),(-sinθ,cosθ))$ e
$S=((cosθ,sinθ),(sinθ,−cosθ))$ .
Ci sono dei teoremi che asseriscono che la matrice $R$ rappresenta rotazioni di angolo theta, e che $R_0$ e $R_pi$ sono le uniche rotazione di $R^2$ che ammettono autovalori reali.
Ma tu stai trattando il secondo tipo. Credo che ben sai che la matrice del tipo $S$, rappresenta una simmetria ortogonale rispetto alla retta che forma un angolo convesso di $\vartheta/2$ rad con la retta individuata da $e_1$.
Osservi che essa rappresenta una matrice ortogonale, allora gli autovalori potranno essere:
- o tutti e due 1;
- o tutti e due -1;
- oppure 1 e -1.

Siamo nel terzo caso, nel caso più significativo.
Sappiamo che è diagonalizzabile e dai criteri di diagonalizzabilità risulta che:
$R^2$ = $R^2$ $(1)$ $\bot$ $R^2$ $(-1)$
ossia l'autospazio relativo all'autovalore 1 è ortogonale a quello dell'autovalore -1.
Per $\lambda$ $ =1$ puoi dimostrare che l'autovettore è $v = cos($ $\vartheta/2$ $) $ $e_1$ $+ sen($ $\vartheta/2$ $) $ $e_2$ ricordando la definizione di autovettore, ossia
$S * $ $v_1$ $=$ $v_1$
prova a fare questo prodotto,dovrebbe uscirti

[andros1]

Grazie della risposta.
Chiaramente il vettore $v$ è un autovettore della matrice, ma mi chiedo:
come mai con il metodo classico, cioè lasciano l'autovettore incognito e risolvendo il sistema, ho un risultato differente? Sono io che sbaglio qualcosa?

[achille_lauro1]

Occorre esprimere le componenti dell' autovettore da ricercare secondo coordinate polari, considerando il suo punto finale sulla circonferenza unitaria (non occorre considerare la lunghezza dell' autovettore; si semplifica la scrittura):
$x = cos (\rho - (\theta \\2)), y = (\rho - (\theta\\2))$, ove $\rho$ è riferito al solito semiasse positivo delle ascisse.
Siccome al variare di $\theta$ in $M$ muta l' operazionalità della matrice rispetto ad un medesimo riferimento
(ad esempio, quello individuato da $e^1$ ed $e^2$), non è evidentemente determinabile un autovettore 'persistente' al variare del valore di $\theta$ (tranne, appunto, il vettore nullo $(0,0)$, non considerato, per evidenti ragioni, come autovettore). Occorre, quindi, riferire le componenti dell' autovettore a $\theta$. Siccome $M$ è una matrice di riflessione con asse di riflessione passante per l' origine e angolo di incidenza $\theta \\2$ sul semiasse positivo delle ascisse, si adotta l' asse di riflessione come asse di riferimento per l' angolo nelle componenti dell' autovettore, considerando, quindi, componenti riferite all' asse di riflessione e non al riferimento assoluto da $\theta$ ($\theta =0$). Pertanto, un errore potrebbe essere stato nel non riferire $x$ e $y$ all' asse di riflessione, variabile al variare di $\theta$, come se una medesimo vettore $(x,y)$ potesse essere un autovettore rispetto ad una matrice con 'operazionalità' variabile con continuità. Effettivamente, al variare di $\theta$ , come varia $M*e^1$ e $M*e^2$...

[sandroroma]

In realtà le due equazioni del sistema agli autovalori sono equivalenti. Ce ne possiamo accorgere osservando che
se si moltiplica, ad es, la prima equazione per $\cos\theta+1$ essa, con qualche facile calcolo, si riduce alla seconda.
Pertanto il sistema si può ridurre ad una sola equazione. Ad esempio la seconda :
(1) $x\sin\theta-(1+\cos\theta)y=0$
Ma :
$\sin\theta=2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}$
$1+\cos\theta=2\cos^2\frac{\theta}{2}$
Sostituendo nella (1) e semplificando si ha:
$x\sin\frac{\theta}{2}-y\cos\frac{theta}{2}=0$
Una soluzione di quest'ultima equazione può essere:
$x=\cos\frac{\theta}{2},y=\sin\frac{\theta}{2}$
o valori a questa proporzionali.