Calcolo autovettore normalizzato
Salve a tutti,
ho questo esercizio che non riesco a risolvere correttamente e non capisco dove sbaglio:
data la matrice $ ( ( 47/15 , 16/15 , -4/3 ),( 16/15 , 23/15 , -2/3 ),( -4/3 , -2/3 , 19/3 ) ) $
il determinante è 21
il polinomio caratteristico è $ -x^3+11x^2-31x+21 $
gli autovalori sono 1, 3, 7
partendo dal presupposto che fin qui sia tutto corretto perchè i miei calcoli coincidono con la soluzione del testo, ora dovrei trovare gli autovettori normalizzati associati a 1, 3 e 7 ho provato sia con 1 che con 7 e non capisco dove sbaglio.
prendiamo per esempio 1: devo sostituire ad $ x $ l'autovalore $ ( ( 47/15-x , 16/15 , -4/3 ),( 16/15 , 23/15-x , -2/3 ),( -4/3 , -2/3 , 19/3-x ) ) $
ottenendo: $ ( ( 32/15 , 16/15 , -4/3 ),( 16/15 , 8/15 , -2/3 ),( -4/3 , -2/3 , 16/3 ) ) $
adesso dovrei risolvere il sistema in caso omogeneo, quindi ridurre la matrice, ecc ecc..
la matrice ridotta dovrebbe essere: $ ( ( 32/15 , 16/15 , -4/3 ),( 0 , 0 , -37/6 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ (ed è qui che ho paura di aver sbagliato..)
quindi dovrei ottenere: $ { ( 32/15x1+16/15x2-4/3x3=0 ),( -37/6x3=0 ):} $
ottenendo alla fine : $ x3=0 $ e $ x1=-2x2 $
e adesso? non mi è molto chiaro in questo caso come devo procedere, ho fatto alcune prove calcolando poi la norma per ottenere il vettore normalizzato ma i risultati non coincidono con la soluzione del testo, che è: $ (( -sqrt(2/15) , -1/sqrt(30) , sqrt(5/6 )),( sqrt(2/3) , 1/sqrt(6) , 1/sqrt(6) ),( -1/sqrt(5) , 2/sqrt(5) , 0 ) ) $ (considerando i tre autovalori ordinati in senso 7, 3, 1
Grazie infinitamente in anticipo.
ho questo esercizio che non riesco a risolvere correttamente e non capisco dove sbaglio:
data la matrice $ ( ( 47/15 , 16/15 , -4/3 ),( 16/15 , 23/15 , -2/3 ),( -4/3 , -2/3 , 19/3 ) ) $
il determinante è 21
il polinomio caratteristico è $ -x^3+11x^2-31x+21 $
gli autovalori sono 1, 3, 7
partendo dal presupposto che fin qui sia tutto corretto perchè i miei calcoli coincidono con la soluzione del testo, ora dovrei trovare gli autovettori normalizzati associati a 1, 3 e 7 ho provato sia con 1 che con 7 e non capisco dove sbaglio.
prendiamo per esempio 1: devo sostituire ad $ x $ l'autovalore $ ( ( 47/15-x , 16/15 , -4/3 ),( 16/15 , 23/15-x , -2/3 ),( -4/3 , -2/3 , 19/3-x ) ) $
ottenendo: $ ( ( 32/15 , 16/15 , -4/3 ),( 16/15 , 8/15 , -2/3 ),( -4/3 , -2/3 , 16/3 ) ) $
adesso dovrei risolvere il sistema in caso omogeneo, quindi ridurre la matrice, ecc ecc..
la matrice ridotta dovrebbe essere: $ ( ( 32/15 , 16/15 , -4/3 ),( 0 , 0 , -37/6 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ (ed è qui che ho paura di aver sbagliato..)
quindi dovrei ottenere: $ { ( 32/15x1+16/15x2-4/3x3=0 ),( -37/6x3=0 ):} $
ottenendo alla fine : $ x3=0 $ e $ x1=-2x2 $
e adesso? non mi è molto chiaro in questo caso come devo procedere, ho fatto alcune prove calcolando poi la norma per ottenere il vettore normalizzato ma i risultati non coincidono con la soluzione del testo, che è: $ (( -sqrt(2/15) , -1/sqrt(30) , sqrt(5/6 )),( sqrt(2/3) , 1/sqrt(6) , 1/sqrt(6) ),( -1/sqrt(5) , 2/sqrt(5) , 0 ) ) $ (considerando i tre autovalori ordinati in senso 7, 3, 1
Grazie infinitamente in anticipo.
Risposte
Quando semplifichi la matrice per trovare gli autivettori deve essere sempre singolare, quindi la matrice che hai ottenuto sembra corretta. Ora prima di calcolare le norme devi trovare i vettori da normalizzare cioè una base dello spazio generato dagli autovettori associati agli autovalori.
Per l'autovalore $x=1$ la soluzione del sistema è $((5/8t),(0),(t))$ quindi una base è $((5/8),(0),(1))$
Ora fai lo stesso per gli altri autovalori e poi normalizzi i vettori trovati, questi saranno le colonne della matrice finale
Per l'autovalore $x=1$ la soluzione del sistema è $((5/8t),(0),(t))$ quindi una base è $((5/8),(0),(1))$
Ora fai lo stesso per gli altri autovalori e poi normalizzi i vettori trovati, questi saranno le colonne della matrice finale
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