Calcolo autovalori matrice simmetrica

[Oibaf996]

Ho un dubbio sul calcolare gli autovalori di una matrice simmetrica.
Avendo la matrice $ A=( ( 2 , 2 , 0 , 0 ),( 2 , 2 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 3 , 1 ),( 0 , 0 , 1 , 3 ) ) $ devo calcolare gli autovalori e le rispettive molteplicita' algebriche e geometriche.

Io so che per le matrici simmetriche il rango della matrice corrisponde al numero di autovalori non nulli.
In questo caso $ Rank(A)=2 $ quindi ho due autovalori nulli e due autovalori non nulli.
Inoltre so che la $ tr A=lambda (1)+ lambda (2)+ lambda (n) $ , in questo caso tr A=10, quindi la somma di due autovalori deve darmi 10, ma non ho idee sul come capire quali sono effettivamente.

[cooper1]

fare come per qualunque altro esercizio e diagonalizzare la matrice? trovi il polinomio caratteristico e ne calcoli le radici: quelle sono i tuoi autovalori

[Oibaf996]

Avevo provato a calcolarli tramite polinomio caratteristico, ottengo il polinomio caratteristico: $ lambda (lambda ^3-10lambda ^2+32lambda -32) $ calcolandolo con Wolfram noto che gli autovalori erano quelli attesi. Il problema sta nel fatto che per trovarmeli dovrei usare Ruffini e dovendo verificare la radice di 32 mi risulta un po' scomodo e lento farlo a mano. Per questo motivo cercavo metodi teorici piu' "veloci".

[cooper1]

se non hai informazioni aggiuntive (tipo sapere altri autovalori ed autovettori) che io sappia l'unico modo per calcolare gli autovalori è quello del polinomio caratteristico. oltretutto che io sappia per calcolare la molteplicità non puoi sfuggire dal calcolo diretto degli autovalori

[anonymous_0b37e9]

Trattandosi di una matrice a blocchi, puoi procedere calcolando gli autovalori delle due matrici sottostanti:

$A_1=((2,2),(2,2))$

$A_2=((3,1),(1,3))$

Per quanto riguarda la prima:

$det((2-\lambda,2),(2,2-\lambda))=0 rarr$

$rarr (2-\lambda)^2-4=0 rarr$

$rarr (2-\lambda)^2=4 rarr$

$rarr 2-\lambda=+-2 rarr$

$rarr \lambda=0 vv \lambda=4$

Per quanto riguarda la seconda:

$det((3-\lambda,1),(1,3-\lambda))=0 rarr$

$rarr (3-\lambda)^2-1=0 rarr$

$rarr (3-\lambda)^2=1 rarr$

$rarr 3-\lambda=+-1 rarr$

$rarr \lambda=2 vv \lambda=4$

Del resto:

$\lambda^3-10\lambda^2+32\lambda-32=(\lambda-2)(\lambda-4)^2$

[Oibaf996]

Vero, non ci avevo pensato. Grazie mille!