Calcolo autovalori e autospazi!
salve ragazzi! sono nuovo di qui e vi mi rivolgo a voi perchè sono in panico... mi sto allenando su esercizi sugli autovalori ma nel momento in cui devo trovare le basi degli autospazi mi viene sempre il vettore nullo! aiutooo!!
mi risolvete queste matrici che mi faccio un'idea?
A=
|1,2,0|
|-1,-2,0|
|-3,-9,1|
e di questa
B=
|-1,1,0|
|1,1,2|
|-1,-1,-2|
grazie mille! gentilissimi
mi risolvete queste matrici che mi faccio un'idea?
A=
|1,2,0|
|-1,-2,0|
|-3,-9,1|
e di questa
B=
|-1,1,0|
|1,1,2|
|-1,-1,-2|
grazie mille! gentilissimi
Risposte
usa le formule, per piacere! E poi posta la tua risoluzione e vediamo dove ti blocchi e ti possiamo aiutare.
scusami! la prima matrice è:
$((1,2,0),(-1,-2,0),(-3,-9,1))$
io trovo gli autovalori :
$((1-t,2,0),(-1,-2-t,0),(-3,-9,1-t))$
e ottengo: $(1-t)*[(-2-t)*(1-t)]-2(-1+t)$ da qui sviluppo e ottengo $t*(1-t)*(t+1)$ risulta quindi T=0 , T=1 , T=-1
con lo 0 mi viene il Ker(f) mentre con l'1 mi trovo l'autovettore nullo:
$((0,2,0),(-1,-3,0),(-3,-9,0))$ da qui risolvo il sistema ${(2y=0),(-x-3y=0),(-3x-9y=0):}$ da qui y=0 e x=0
la seconda matrice $((-1,1,0),(1,1,2),(-1,-1,-2))$
calcolo gli autovalori
$((-1-t,1,0),(1,1-t,2),(-1,-1,-2-t))$ e ottengo l'equazione $(-1-t)*[(1-t)*(-2-t)+2]-[(-2-t)+2]=0$ da qui ottengo le radici T=0 con molteplicità 2 e T=-4 putroppo il Ker f mi viene di una dimensione sola nonostante la molteplicità 2 di 0 e con T=-4 mi viene il vettore nullo!
$((1,2,0),(-1,-2,0),(-3,-9,1))$
io trovo gli autovalori :
$((1-t,2,0),(-1,-2-t,0),(-3,-9,1-t))$
e ottengo: $(1-t)*[(-2-t)*(1-t)]-2(-1+t)$ da qui sviluppo e ottengo $t*(1-t)*(t+1)$ risulta quindi T=0 , T=1 , T=-1
con lo 0 mi viene il Ker(f) mentre con l'1 mi trovo l'autovettore nullo:
$((0,2,0),(-1,-3,0),(-3,-9,0))$ da qui risolvo il sistema ${(2y=0),(-x-3y=0),(-3x-9y=0):}$ da qui y=0 e x=0
la seconda matrice $((-1,1,0),(1,1,2),(-1,-1,-2))$
calcolo gli autovalori
$((-1-t,1,0),(1,1-t,2),(-1,-1,-2-t))$ e ottengo l'equazione $(-1-t)*[(1-t)*(-2-t)+2]-[(-2-t)+2]=0$ da qui ottengo le radici T=0 con molteplicità 2 e T=-4 putroppo il Ker f mi viene di una dimensione sola nonostante la molteplicità 2 di 0 e con T=-4 mi viene il vettore nullo!
ho controllato la prima... mi sembra giusto ma non è vero che ottieni il vettore nullo
se tu risolvi quel sistema ottieni $x=y=0$ perciò una base del tuo autospazio $V_1=(0,0,1)$ poichè $z$ è libero di variare.
proviamo a calcolare il $ker$ dalla tua matrice $A$ otteniamo, risolvendo il sistema $x=-2y$ e $z=15y$ pertanto il $ker=<-2,1,15>$ infatti ha, come doveva essere dimensione $1$
prova a risolvere il resto.
se tu risolvi quel sistema ottieni $x=y=0$ perciò una base del tuo autospazio $V_1=(0,0,1)$ poichè $z$ è libero di variare.
proviamo a calcolare il $ker$ dalla tua matrice $A$ otteniamo, risolvendo il sistema $x=-2y$ e $z=15y$ pertanto il $ker=<-2,1,15>$ infatti ha, come doveva essere dimensione $1$
prova a risolvere il resto.
[mod="Martino"]Ciao tenebrikko, sei pregato di mettere il titolo in minuscolo, in conformita' col regolamento. Grazie.[/mod]
ora ho capito! gentilissimo!
Però la dimensione dell'autospazi non deve essere uguale alla molteplicità dell'autovalore ad esso riferito? cioè se ottengo due autovalori uguali, calcolo una base dell'autospazio, questa non deve avere dimensione 2?
Però la dimensione dell'autospazi non deve essere uguale alla molteplicità dell'autovalore ad esso riferito? cioè se ottengo due autovalori uguali, calcolo una base dell'autospazio, questa non deve avere dimensione 2?
in generale vale: $1<=dim(V_(lambda_0))<=h(lambda_0)$ dove$h(lambda_0)$ è la molteplicità algebrica.
Se coincidono per tutti gli autovalori, allora è diagonalizzabile. Ma non è detto (affatto) che accada sempre.
Ciò che invece (deve!) accadere sempre è che un autospazio relativo ad un certo autovalore, non sia mai banale!
Se coincidono per tutti gli autovalori, allora è diagonalizzabile. Ma non è detto (affatto) che accada sempre.
Ciò che invece (deve!) accadere sempre è che un autospazio relativo ad un certo autovalore, non sia mai banale!
quindi accade solo se è diagonalizzabile... capito! grazie 
mi hai risolto molti dubbi!
mi hai risolto molti dubbi!
"tenebrikko":
ora ho capito! gentilissimo!
Però la dimensione dell'autospazi non deve essere uguale alla molteplicità dell'autovalore ad esso riferito? cioè se ottengo due autovalori uguali, calcolo una base dell'autospazio, questa non deve avere dimensione 2?
Non e' detto che le molteplicita' coincidano,se quella algebrica e' uno pero' anche quella geometrica e' uno.se ottieni due autovalori uguali,quindi molteplicita' algebrica 2,quando determini l'autospazio devi trovarti due autovettori,se cio' non accade allora la matrice non e' diagonalizzabile
$ V(1)= L{(0,0,1)},V(-1)=L{(1,-1,-3)}, V(0)= L{(2,-1,-3)}$
Matrice invertibile P : $ P^-1AP=D ,P=((0,1,2),(0,-1,-1),(1,-3,-3)) D=((1,0,0),(0,-1,0),(0,0,0)) $
Matrice invertibile P : $ P^-1AP=D ,P=((0,1,2),(0,-1,-1),(1,-3,-3)) D=((1,0,0),(0,-1,0),(0,0,0)) $
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