Calcolo Autovalori
Premetto che lo svolgimento del calcolo degli autovalori mi è chiaro, ma non riesco a capire come ricavarli in questo caso specifico:
La mia matrice è:
$ ( ( 2 , 1 , -2 ),( 1 , -2 , 1 ),( 3 , 0 , -1 ) ) $
Il testo mi chiede la dimensione di Img e Kern. E dovrebbe essere rispettivamente 3 e null (0). Per gli autovalori aggiungo alla diagonale -lambda, faccio il determinante con Sarrus e mi viene un polinomio di grado lambda^3, cioè:
$ -x^3+x^2+3x-4 $
Ho provato con ruffini ma non riesco a trovare il termine P per cui posso dividere. Nel libro vengono sempre polinomi di terzo grado, ma riesce a metterli insieme tramite "moltiplicazione" tipo:
$ (7-x)(x^2-5x-14) $
Come posso fare io?
La mia matrice è:
$ ( ( 2 , 1 , -2 ),( 1 , -2 , 1 ),( 3 , 0 , -1 ) ) $
Il testo mi chiede la dimensione di Img e Kern. E dovrebbe essere rispettivamente 3 e null (0). Per gli autovalori aggiungo alla diagonale -lambda, faccio il determinante con Sarrus e mi viene un polinomio di grado lambda^3, cioè:
$ -x^3+x^2+3x-4 $
Ho provato con ruffini ma non riesco a trovare il termine P per cui posso dividere. Nel libro vengono sempre polinomi di terzo grado, ma riesce a metterli insieme tramite "moltiplicazione" tipo:
$ (7-x)(x^2-5x-14) $
Come posso fare io?
Risposte
Il determinante comunque dovrebbe essere $-lambda^3-lambda^2-lambda-4$
Applico sarrus e viene:
$ ((2-lambda)(-2-lambda)(-1-lambda)+3+0)-((-6)(-2-lambda)+0+(-1-lambda)) $
che poi diventa:
$ ((-4+lambda^2)(-1-lambda)+3)-(12+6lambda-1-lambda) $
continuando a moltiplicare:
$ (4+4lambda-lambda^2-lambda^3+3)-(5lambda+11) $
e ancora:
$ -lambda^3-lambda^2-lambda-4 $
Ok rifatto adesso mi torna.
Anche se non riesco comunque a trovare il fattore per fare Ruffini.
$ ((2-lambda)(-2-lambda)(-1-lambda)+3+0)-((-6)(-2-lambda)+0+(-1-lambda)) $
che poi diventa:
$ ((-4+lambda^2)(-1-lambda)+3)-(12+6lambda-1-lambda) $
continuando a moltiplicare:
$ (4+4lambda-lambda^2-lambda^3+3)-(5lambda+11) $
e ancora:
$ -lambda^3-lambda^2-lambda-4 $
Ok rifatto adesso mi torna.
Anche se non riesco comunque a trovare il fattore per fare Ruffini.
Domani ho l'esame e questa scomposizione nn mi riesce mai...C'è un sistema per poterle raggruppare?
Nessuna Idea?
Non sollecitare una risposta prima di 24 ore dall'ultimo post, è contro il regolamento e non attira i lettori, semmai li allontana perché dà una idea di prepotenza. Vedi regolamento (clic) 3.4. Grazie.
Comunque non ci sono tecniche generali per risolvere le equazioni di terzo grado (in realtà una formula ci sarebbe ma è molto complicata e non la devi imparare). Di solito si cerca di capire se esistono soluzioni intere semplici e poi si scompone.
Comunque non ci sono tecniche generali per risolvere le equazioni di terzo grado (in realtà una formula ci sarebbe ma è molto complicata e non la devi imparare). Di solito si cerca di capire se esistono soluzioni intere semplici e poi si scompone.
Scusa, hai ragione, è che sono stressato per l'esame..Mi sembra assurdo che metta tutti esercizi in cui il lambda viene di grado 3 e in nessuno riesco a trovare il termine per usare Ruffini. Scusate ancora.
In realtà un trucco ci sarebbe:
http://it.wikipedia.org/wiki/Regola_di_ ... _polinomio
Siccome il polinomio caratteristico di una matrice è sempre monico (oppure con coefficiente direttivo $-1$), questo ti dice di cercare una radice intera tra i divisori del termine di grado zero. Nel tuo ultimo esempio, cerca una radice intera tra $+-1, +-2, +-4$.
http://it.wikipedia.org/wiki/Regola_di_ ... _polinomio
Siccome il polinomio caratteristico di una matrice è sempre monico (oppure con coefficiente direttivo $-1$), questo ti dice di cercare una radice intera tra i divisori del termine di grado zero. Nel tuo ultimo esempio, cerca una radice intera tra $+-1, +-2, +-4$.
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